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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
(3) ι ab est injectif.
Le groupe X ∗ (T
∗
sc ) a pour base l’ensemble ˇ
Δ de coracines associé à Δ. Le
groupe X ∗ (T
∗
M ∗ ,sc ) a pour base le sous-ensemble ˇ
Δ
M
∗ associé à Δ
M
∗ . On a donc
une suite exacte
1 → T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
sc → T 1 → 1,
où T 1 est un tore tel que X ∗ (T 1 ) a pour base l’ensemble ˇ
Δ − ˇ
Δ
M
∗ . Puisque Γ F
agit sur Δ par permutations laissant stable Δ
M
∗ , les trois tores sont induits. On
a le diagramme commutatif suivant
1 → T
∗
M ∗ ,sc
→ T
∗
sc
→ T 1 → 1
↓
↓
↓
1 →
T
∗
ad
→ T
∗
ad
→ 1
dont les suites horizontales sont exactes. Il s’en déduit une suite exacte
H
1 (A F /F ; T 1 ) → H
2,1 (A F /F ; T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
ad )
ι ab
→ H
2,1 (A F /F ; T
∗
sc → T
∗
ad ).
Puisque T 1 est induit, le premier groupe est nul, ce qui prouve (3).
Puisque κ AF provient de κ, son image dans H
2,1 (A F /F ; T
∗
sc → T
∗
ad ) est nulle.
La commutativité du diagramme (2) et l’assertion (3) entraînent que l’image de
κ
M
∗
AF dans H
2,1 (A F /F ; T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
ad ) est nulle. Donc κ
M
∗
AF provient d’un élément
κ
M
∗ ∈ H
1 (F ; M
∗
ad ). Notons κ
l’image de cet élément dans H
1 (F ; G
∗
AD ). Les
éléments κ et κ
ont même image κ AF dans ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G
∗
AD ). D’après [51]
proposition 1.6.12, la fibre au-dessus de κ AF de l’application
H
1 (F ; G
∗
AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G
∗
AD )
est isomorphe au noyau ker
1 (F ; G AD ) de l’application similaire
H
1 (F ; G AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G AD ).
Or, G AD étant adjoint, cet ensemble est réduit à {1} ([71] corollaire 5.4). Donc
κ = κ
et κ provient d’un élément de H
1 (F : M
∗
ad ). Cela équivaut à dire que
la paire parabolique (P
∗ , M
∗ ) se transfère à G, c’est-à-dire qu’il existe une paire
parabolique de G qui est définie sur F et qui est conjuguée à ψ
−1 (P
∗ , M
∗ ). Cela
implique Δ
M0
⊂ Δ
M
∗ . D’où le lemme.
Notons Π
M0 le sous-ensemble des p ∈ Π tels que Δ
Mp,0 = Δ min . Il est non vide
d’après le lemme. Pour p ∈ Π et p
∈ Π
M0 , fixons un élément x p ,p ∈ G p tel que
ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
P p,0 , ˜
M p,0 ) contienne ( ˜
P p ,0 , ˜
M p ,0 ). Le lemme implique l’existence
d’un tel élément. On note K ˜
M 0 la famille ( ˜
M p,0 ) p∈Π M 0 . C’est un K-espace de
Levi de K ˜
G, la définition de cette notion étant similaire à celle du cas local, cf. [I]
3.5. On note L(K ˜
M 0 ) l’ensemble des K-espaces de Levi K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L de K ˜
G
vérifiant les deux conditions suivantes :
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
(3) ι ab est injectif.
Le groupe X ∗ (T
∗
sc ) a pour base l’ensemble ˇ
Δ de coracines associé à Δ. Le
groupe X ∗ (T
∗
M ∗ ,sc ) a pour base le sous-ensemble ˇ
Δ
M
∗ associé à Δ
M
∗ . On a donc
une suite exacte
1 → T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
sc → T 1 → 1,
où T 1 est un tore tel que X ∗ (T 1 ) a pour base l’ensemble ˇ
Δ − ˇ
Δ
M
∗ . Puisque Γ F
agit sur Δ par permutations laissant stable Δ
M
∗ , les trois tores sont induits. On
a le diagramme commutatif suivant
1 → T
∗
M ∗ ,sc
→ T
∗
sc
→ T 1 → 1
↓
↓
↓
1 →
T
∗
ad
→ T
∗
ad
→ 1
dont les suites horizontales sont exactes. Il s’en déduit une suite exacte
H
1 (A F /F ; T 1 ) → H
2,1 (A F /F ; T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
ad )
ι ab
→ H
2,1 (A F /F ; T
∗
sc → T
∗
ad ).
Puisque T 1 est induit, le premier groupe est nul, ce qui prouve (3).
Puisque κ AF provient de κ, son image dans H
2,1 (A F /F ; T
∗
sc → T
∗
ad ) est nulle.
La commutativité du diagramme (2) et l’assertion (3) entraînent que l’image de
κ
M
∗
AF dans H
2,1 (A F /F ; T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
ad ) est nulle. Donc κ
M
∗
AF provient d’un élément
κ
M
∗ ∈ H
1 (F ; M
∗
ad ). Notons κ
l’image de cet élément dans H
1 (F ; G
∗
AD ). Les
éléments κ et κ
ont même image κ AF dans ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G
∗
AD ). D’après [51]
proposition 1.6.12, la fibre au-dessus de κ AF de l’application
H
1 (F ; G
∗
AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G
∗
AD )
est isomorphe au noyau ker
1 (F ; G AD ) de l’application similaire
H
1 (F ; G AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G AD ).
Or, G AD étant adjoint, cet ensemble est réduit à {1} ([71] corollaire 5.4). Donc
κ = κ
et κ provient d’un élément de H
1 (F : M
∗
ad ). Cela équivaut à dire que
la paire parabolique (P
∗ , M
∗ ) se transfère à G, c’est-à-dire qu’il existe une paire
parabolique de G qui est définie sur F et qui est conjuguée à ψ
−1 (P
∗ , M
∗ ). Cela
implique Δ
M0
⊂ Δ
M
∗ . D’où le lemme.
Notons Π
M0 le sous-ensemble des p ∈ Π tels que Δ
Mp,0 = Δ min . Il est non vide
d’après le lemme. Pour p ∈ Π et p
∈ Π
M0 , fixons un élément x p ,p ∈ G p tel que
ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
P p,0 , ˜
M p,0 ) contienne ( ˜
P p ,0 , ˜
M p ,0 ). Le lemme implique l’existence
d’un tel élément. On note K ˜
M 0 la famille ( ˜
M p,0 ) p∈Π M 0 . C’est un K-espace de
Levi de K ˜
G, la définition de cette notion étant similaire à celle du cas local, cf. [I]
3.5. On note L(K ˜
M 0 ) l’ensemble des K-espaces de Levi K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L de K ˜
G
vérifiant les deux conditions suivantes :