VI.1. Les définitions
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Δ
Mp,0 est invariant par l’action de Γ F et l’ensemble Δ
Mp,v,0 est invariant par
l’action de Γ Fv . Pour une place v réelle, on a vu que notre K-espace déterminait
un K-espace sur F v = R. En [I] 3.5, on lui a associé un sous-ensemble Δ min ⊂ Δ,
qu’il convient de noter Δ min,v . Il est invariant par θ. Le lemme de cette référence
dit que Δ min,v ⊂ Δ
Mp,v,0 pour tout p et que cette inclusion est une égalité pour
au moins un p. La même construction vaut pour une place complexe ou nonarchimédienne. On réfère pour ce cas à [A 10] lemme 2.1. Pour une telle place,
on définit donc un sous-ensemble Δ min,v ⊂ Δ. Puisque, pour une telle place, les
groupes G p sont tous isomorphes sur F v , on a simplement Δ min,v = Δ
Mp,v,0 pour
tout p. On vient de voir que, pour une place v quelconque, il existait p ∈ Π tel
que Δ min,v = Δ
Mp,v,0 . Le lemme du paragraphe précédent renforce ce résultat en
échangeant les quantificateurs :
(1) il existe p ∈ Π tel que Δ min,v = Δ
Mp,v,0 pour tout v.
Notons Δ
min = ∪ v∈Val(F ) Δ min,v et Δ min le plus petit sous-ensemble de Δ
qui contient Δ
min et qui est invariant par l’action de Γ F . Puisque les actions de
Γ F et θ commutent, Δ min est invariant par θ.
Lemme. On a l’inclusion Δ min ⊂ Δ
Mp,0 pour tout p. Cette inclusion est une égalité
pour p vérifiant (1).
Preuve. Pour tout p ∈ Π et toute place v, on a l’inclusion Δ
Mp,v,0
⊂ Δ
Mp,0 . Donc
Δ
Mp,0 contient Δ
min . Puisqu’il est invariant par Γ F , il contient Δ min . Fixons p vérifiant (1), posons G = G p , M 0 = M p,0 et M v,0 = M p,v,0 pour tout v. Introduisons
une forme quasi-déployée G
∗ de G et un torseur intérieur ψ : G → G
∗ de sorte
que (B
∗ , T
∗ ) s’identifie à une paire de Borel de G
∗ définie sur F . Puisque Δ min
est invariant par Γ F , il existe une paire parabolique (P
∗ , M
∗ ) de G
∗ , définie sur
F , contenant (B
∗ , T
∗ ), de sorte que Δ min = Δ
M
∗ . Soit v une place de F . Puisque
Δ min est invariant par Γ Fv et que Δ
Mv,0
⊂ Δ min , la paire (P
∗ , M
∗ ) se transfère en
une paire parabolique de G définie sur F v . Comme on le sait, à la forme intérieure
G de G
∗ est associé un élément κ ∈ H
1 (F ; G
∗
AD ). Cet élément se localise en un
élément κ v ∈ H
1 (F v ; G
∗
AD ). La condition précédente signifie que κ v appartient
à l’image de l’application H
1 (F v ; M
∗
ad ). D’après [51] proposition 1.6.12, on a un
diagramme commutatif à lignes exactes
(2)
H
1 (F ; G
∗
AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G
∗
AD ) → H
2,1 (A F /F ; T
∗
sc → T
∗
ad )
↑ ι F
↑ ι AF
↑ ι ab
H
1 (F ; M
∗
ad ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; M
∗
ad ) → H
2,1 (A F /F ; T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
ad )
Conformément à la convention de [I], on a noté H
2,1 les groupes de cohomologie que
Labesse note H
1 et que Kottwitz et Shelstad notent H
2 . On renvoie à ces auteurs
(ou à 3.6 ci-dessous) pour la définition de la cohomologie H
2,1 (A F /F ; .). On a
noté T
∗
sc et T
∗
M ∗ ,sc les images réciproques de T
∗ dans les revêtements simplement
connexes G
∗
SC et M
∗
SC des groupes dérivés de G
∗ et M
∗ .
Posons κ AF = ⊕ v∈Val(F ) κ v . D’après ce que l’on a dit ci-dessus, on peut fixer
κ
M
∗
AF ∈ ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; M
∗
ad ) tel que ι AF (κ
M
∗
AF ) = κ AF . Montrons que
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Δ
Mp,0 est invariant par l’action de Γ F et l’ensemble Δ
Mp,v,0 est invariant par
l’action de Γ Fv . Pour une place v réelle, on a vu que notre K-espace déterminait
un K-espace sur F v = R. En [I] 3.5, on lui a associé un sous-ensemble Δ min ⊂ Δ,
qu’il convient de noter Δ min,v . Il est invariant par θ. Le lemme de cette référence
dit que Δ min,v ⊂ Δ
Mp,v,0 pour tout p et que cette inclusion est une égalité pour
au moins un p. La même construction vaut pour une place complexe ou nonarchimédienne. On réfère pour ce cas à [A 10] lemme 2.1. Pour une telle place,
on définit donc un sous-ensemble Δ min,v ⊂ Δ. Puisque, pour une telle place, les
groupes G p sont tous isomorphes sur F v , on a simplement Δ min,v = Δ
Mp,v,0 pour
tout p. On vient de voir que, pour une place v quelconque, il existait p ∈ Π tel
que Δ min,v = Δ
Mp,v,0 . Le lemme du paragraphe précédent renforce ce résultat en
échangeant les quantificateurs :
(1) il existe p ∈ Π tel que Δ min,v = Δ
Mp,v,0 pour tout v.
Notons Δ
min = ∪ v∈Val(F ) Δ min,v et Δ min le plus petit sous-ensemble de Δ
qui contient Δ
min et qui est invariant par l’action de Γ F . Puisque les actions de
Γ F et θ commutent, Δ min est invariant par θ.
Lemme. On a l’inclusion Δ min ⊂ Δ
Mp,0 pour tout p. Cette inclusion est une égalité
pour p vérifiant (1).
Preuve. Pour tout p ∈ Π et toute place v, on a l’inclusion Δ
Mp,v,0
⊂ Δ
Mp,0 . Donc
Δ
Mp,0 contient Δ
min . Puisqu’il est invariant par Γ F , il contient Δ min . Fixons p vérifiant (1), posons G = G p , M 0 = M p,0 et M v,0 = M p,v,0 pour tout v. Introduisons
une forme quasi-déployée G
∗ de G et un torseur intérieur ψ : G → G
∗ de sorte
que (B
∗ , T
∗ ) s’identifie à une paire de Borel de G
∗ définie sur F . Puisque Δ min
est invariant par Γ F , il existe une paire parabolique (P
∗ , M
∗ ) de G
∗ , définie sur
F , contenant (B
∗ , T
∗ ), de sorte que Δ min = Δ
M
∗ . Soit v une place de F . Puisque
Δ min est invariant par Γ Fv et que Δ
Mv,0
⊂ Δ min , la paire (P
∗ , M
∗ ) se transfère en
une paire parabolique de G définie sur F v . Comme on le sait, à la forme intérieure
G de G
∗ est associé un élément κ ∈ H
1 (F ; G
∗
AD ). Cet élément se localise en un
élément κ v ∈ H
1 (F v ; G
∗
AD ). La condition précédente signifie que κ v appartient
à l’image de l’application H
1 (F v ; M
∗
ad ). D’après [51] proposition 1.6.12, on a un
diagramme commutatif à lignes exactes
(2)
H
1 (F ; G
∗
AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; G
∗
AD ) → H
2,1 (A F /F ; T
∗
sc → T
∗
ad )
↑ ι F
↑ ι AF
↑ ι ab
H
1 (F ; M
∗
ad ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; M
∗
ad ) → H
2,1 (A F /F ; T
∗
M ∗ ,sc → T
∗
ad )
Conformément à la convention de [I], on a noté H
2,1 les groupes de cohomologie que
Labesse note H
1 et que Kottwitz et Shelstad notent H
2 . On renvoie à ces auteurs
(ou à 3.6 ci-dessous) pour la définition de la cohomologie H
2,1 (A F /F ; .). On a
noté T
∗
sc et T
∗
M ∗ ,sc les images réciproques de T
∗ dans les revêtements simplement
connexes G
∗
SC et M
∗
SC des groupes dérivés de G
∗ et M
∗ .
Posons κ AF = ⊕ v∈Val(F ) κ v . D’après ce que l’on a dit ci-dessus, on peut fixer
κ
M
∗
AF ∈ ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; M
∗
ad ) tel que ι AF (κ
M
∗
AF ) = κ AF . Montrons que