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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
sens de [I] 1.11. Soit p ∈ Π. Notons p
l’unique élément de Π v tel que p soit véquivalent à p
. On peut fixer x p ∈ G p ( ¯
F v ) tel que π(∇ p ,p,v ) = x
−1
p σ(x p ). Les applications φ
p ,p = ad xp ◦φ p ,p et ˜
φ
p ,p = ad xp ◦ ˜
φ p ,p sont encore des isomorphismes
définis sur F v . Quitte à multiplier x p à gauche par un élément de G p (F v ), on peut
supposer que φ
p ,p envoie (P p,v,0 , M p,v,0 ) sur (P p ,v,0 , M p ,v,0 ) et que ˜
φ p ,p envoie
( ˜
P p,v,0 , ˜
M p,v,0 ) sur ( ˜
P p ,v,0 , ˜
M p ,v,0 ). Décomposons x p en π(x p,sc )z p , où x p,sc ∈
G p ,SC ( ¯
F v ) et z p ∈ Z(G p ; ¯
F v ). Définissons la cochaîne ∇ p : Γ Fv → G p ,SC par
∇ p (σ) = x p,sc ∇ p ,p (σ)σ(x p,sc )
−1 . C’est un cocycle à valeurs dans Z(G p ,SC ) et le
couple (∇ p , z p ) définit un élément de H
1,0 (F v ; Z(G p ,SC ) → Z(G p )) = G p ,ab (F v ),
que l’on note h p . On sait que a définit un caractère de ce groupe. On note ω(h p )
sa valeur en h p . On définit un homomorphisme
C
∞
c ( ˜
G p (F v )) → C
∞
c ( ˜
G p (F v ))
f
→
f
par f
◦ ˜
φ
p ,p (r) = ω(h p )f (r) pour tout r ∈ ˜
G p (F v ). C’est un isomorphisme qui se
quotiente en un isomorphisme de I( ˜
G p (F v ), ω) sur I( ˜
G p (F v ), ω). On vérifie que
ce dernier isomorphisme ne dépend pas des choix de x p et x p,sc .
Soit V un ensemble fini de places contenant les places réelles. Grâce au lemme
ci-dessus et aux différents isomorphismes que l’on vient de construire, on obtient
un isomorphisme
⊕ p∈Π I( ˜
G p (F V ), ω)
⊗ v∈V −Val R (F ) I( ˜
G(F v ), ω)
⊗
⊗ v∈Val R (F )
⊕ p ∈Πv I( ˜
G p (F v ), ω)
.
On note I(K ˜
G(F V ), ω) le membre de gauche. On a évidemment des isomorphismes
duaux pour les espaces de distributions.
Les différents groupes G p étant formes intérieures l’un de l’autre, les espaces
de mesures de Haar Mes(G p (F v )) s’identifient pour toute place v à un espace
commun que l’on note Mes(G(F v )). De même, les espaces A ˜
Gp s’identifient à un
espace commun A ˜
G . Comme dans le cas local, pour un triplet (G, ˜
G, a) comme
en 1.1, on peut construire un K-espace dont ˜
G soit une composante connexe,
cf. [I] 1.11.
VI.1.17 K-espaces de Levi
On poursuit avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. Notons
(B
∗ , T
∗ ) la paire de Borel commune des groupes G p et Δ l’ensemble de racines
simples associé. Le groupe Γ F et l’automorphisme θ agissent sur Δ. Toute paire
parabolique (P p , M p ) de G p détermine un sous-ensemble Δ
Mp
⊂ Δ. Ainsi, aux
paires (P p,0 , M p,0 ) et (P p,v,0 , M p,v,0 ), pour v ∈ Val(F ), sont associés des sousensembles Δ
Mp,0 et Δ
Mp,v,0 de Δ. Ils sont invariants par l’action de θ. L’ensemble
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
sens de [I] 1.11. Soit p ∈ Π. Notons p
l’unique élément de Π v tel que p soit véquivalent à p
. On peut fixer x p ∈ G p ( ¯
F v ) tel que π(∇ p ,p,v ) = x
−1
p σ(x p ). Les applications φ
p ,p = ad xp ◦φ p ,p et ˜
φ
p ,p = ad xp ◦ ˜
φ p ,p sont encore des isomorphismes
définis sur F v . Quitte à multiplier x p à gauche par un élément de G p (F v ), on peut
supposer que φ
p ,p envoie (P p,v,0 , M p,v,0 ) sur (P p ,v,0 , M p ,v,0 ) et que ˜
φ p ,p envoie
( ˜
P p,v,0 , ˜
M p,v,0 ) sur ( ˜
P p ,v,0 , ˜
M p ,v,0 ). Décomposons x p en π(x p,sc )z p , où x p,sc ∈
G p ,SC ( ¯
F v ) et z p ∈ Z(G p ; ¯
F v ). Définissons la cochaîne ∇ p : Γ Fv → G p ,SC par
∇ p (σ) = x p,sc ∇ p ,p (σ)σ(x p,sc )
−1 . C’est un cocycle à valeurs dans Z(G p ,SC ) et le
couple (∇ p , z p ) définit un élément de H
1,0 (F v ; Z(G p ,SC ) → Z(G p )) = G p ,ab (F v ),
que l’on note h p . On sait que a définit un caractère de ce groupe. On note ω(h p )
sa valeur en h p . On définit un homomorphisme
C
∞
c ( ˜
G p (F v )) → C
∞
c ( ˜
G p (F v ))
f
→
f
par f
◦ ˜
φ
p ,p (r) = ω(h p )f (r) pour tout r ∈ ˜
G p (F v ). C’est un isomorphisme qui se
quotiente en un isomorphisme de I( ˜
G p (F v ), ω) sur I( ˜
G p (F v ), ω). On vérifie que
ce dernier isomorphisme ne dépend pas des choix de x p et x p,sc .
Soit V un ensemble fini de places contenant les places réelles. Grâce au lemme
ci-dessus et aux différents isomorphismes que l’on vient de construire, on obtient
un isomorphisme
⊕ p∈Π I( ˜
G p (F V ), ω)
⊗ v∈V −Val R (F ) I( ˜
G(F v ), ω)
⊗
⊗ v∈Val R (F )
⊕ p ∈Πv I( ˜
G p (F v ), ω)
.
On note I(K ˜
G(F V ), ω) le membre de gauche. On a évidemment des isomorphismes
duaux pour les espaces de distributions.
Les différents groupes G p étant formes intérieures l’un de l’autre, les espaces
de mesures de Haar Mes(G p (F v )) s’identifient pour toute place v à un espace
commun que l’on note Mes(G(F v )). De même, les espaces A ˜
Gp s’identifient à un
espace commun A ˜
G . Comme dans le cas local, pour un triplet (G, ˜
G, a) comme
en 1.1, on peut construire un K-espace dont ˜
G soit une composante connexe,
cf. [I] 1.11.
VI.1.17 K-espaces de Levi
On poursuit avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. Notons
(B
∗ , T
∗ ) la paire de Borel commune des groupes G p et Δ l’ensemble de racines
simples associé. Le groupe Γ F et l’automorphisme θ agissent sur Δ. Toute paire
parabolique (P p , M p ) de G p détermine un sous-ensemble Δ
Mp
⊂ Δ. Ainsi, aux
paires (P p,0 , M p,0 ) et (P p,v,0 , M p,v,0 ), pour v ∈ Val(F ), sont associés des sousensembles Δ
Mp,0 et Δ
Mp,v,0 de Δ. Ils sont invariants par l’action de θ. L’ensemble