VI.1. Les définitions
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(2) φ p,q ◦ φ q,r = φ p,r et ˜
φ p,q ◦ ˜
φ q,r = ˜
φ p,r ;
(3) ∇ p,r (σ) = φ p,q (∇ q,r (σ))∇ p,q (σ) ;
(4) ˜
G p (F ) = ∅ ;
(5) la famille (∇ p,q ) q∈Π s’envoie bijectivement sur π(H
1 (F ;G p,SC ))∩H
1 (F ;G p )
θ .
Sous ces hypothèses, on définit le K-groupe KG comme la réunion disjointe
des G p pour p ∈ Π et le K-espace K ˜
G comme la réunion disjointe des ˜
G p .
Comme dans le cas local, les paires de Borel épinglées des différents G p
s’identifient et les G p ont un L-groupe commun, que l’on note
L G. La donnée
supplémentaire d’un élément a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)) détermine un
caractère de chaque G p (A F ), que l’on note simplement ω.
Pour tout p ∈ Π, on fixe une paire parabolique (P p,0 , M p,0 ) de G p définie
sur F et minimale. Pour toute place v ∈ Val(F ), on fixe une paire parabolique
(P p,v,0 , M p,v,0 ) de G p définie sur F v et minimale, de sorte que P p,v,0 ⊂ P p,0 et
M p,v,0 ⊂ M p,0 . Soulignons que ces inclusions peuvent être strictes : le groupe G p
peut être plus déployé sur F v que sur F . Il se déduit de ces paires des paires
d’espaces ( ˜
P p,0 , ˜
M p,0 ) et ( ˜
P p,v,0 , ˜
M p,v,0 ).
Soit v une place de F finie ou complexe. Alors H
1 (F v ; G p,SC ) = {1} pour
tout p. Fixons un élément p
∈ Π. On peut fixer pour tout p ∈ Π un élément
x p ∈ G p ,SC ( ¯
F v ) tel que ∇ p ,p (σ) = x
−1
p σ(x p ) pour tout σ ∈ Γ Fv . Définissons
φ
p ,p = ad xp ◦φ p ,p et ˜
φ
p ,p = ad xp ◦ ˜
φ p ,p . Alors φ
p ,p : G p → G p et ˜
φ
p ,p : ˜
G p →
˜
G p sont des isomorphismes définis sur F v . Quitte à multiplier x p à gauche par
un élément de G p ,SC (F v ), on peut supposer que φ
p ,p envoie (P p,v,0 , M p,v,0 ) sur
(P p ,v,0 , M p ,v,0 ) et que ˜
φ p ,p envoie ( ˜
P p,v,0 , ˜
M p,v,0 ) sur ( ˜
P p ,v,0 , ˜
M p ,v,0 ). Les différents espaces I( ˜
G p (F v ), ω) s’identifient grâce à ces isomorphismes ˜
φ
p ,p à l’espace
I( ˜
G p (F v ), ω), que l’on peut noter simplement I( ˜
G(F v ), ω). Notons que, bien que
les ˜
φ
p ,p dépendent du choix des x p , les isomorphismes qui s’en déduisent entre les
espaces I( ˜
G p (F v ), ω) ne dépendent pas de ce choix.
Puisque les différents espaces ˜
G p s’identifient sur F v pour toute place finie, les
ensembles V ram ( ˜
G p , a) sont les mêmes, on les note V ram ( ˜
G, a), ou simplement V ram .
Pour l’élément p
fixé ci-dessus et pour toute place v ∈ V ram , on choisit un espace
hyperspécial ˜
K p ,v de ˜
G p (F v ) de sorte que les conditions de 1.1 soient vérifiées.
Pour p ∈ Π, on note ˜
K p,v l’image de ˜
K p ,v par ( ˜
φ
p ,p )
−1 . Alors les fonctions
caractéristiques 1 ˜
Kp,v de ˜
K p,v , pour p ∈ Π, ont même image dans I( ˜
G(F v ), ω). On
peut noter 1 ˜
Kv cette image.
Les choses sont plus compliquées en une place réelle. Soit v une telle place.
Pour p, q ∈ Π, notons ∇ p,q,v la restriction de ∇ p,q à Γ Fv . Disons que p et q sont
v-équivalents si et seulement si π(∇ p,q,v ) est cohomologiquement trivial. On vérifie
que c’est une relation d’équivalence. Fixons un ensemble Π v ⊂ Π de représentants
des classes de v-équivalence. On voit que la famille (G p,v , ˜
G p,v ) p∈Πv , munie des
familles (φ p,q ) p,q∈Πv , ( ˜
φ p,q ) p,q∈Πv et (∇ p,q,v ) p,q∈Πv , définit un K-espace sur F v , au
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(2) φ p,q ◦ φ q,r = φ p,r et ˜
φ p,q ◦ ˜
φ q,r = ˜
φ p,r ;
(3) ∇ p,r (σ) = φ p,q (∇ q,r (σ))∇ p,q (σ) ;
(4) ˜
G p (F ) = ∅ ;
(5) la famille (∇ p,q ) q∈Π s’envoie bijectivement sur π(H
1 (F ;G p,SC ))∩H
1 (F ;G p )
θ .
Sous ces hypothèses, on définit le K-groupe KG comme la réunion disjointe
des G p pour p ∈ Π et le K-espace K ˜
G comme la réunion disjointe des ˜
G p .
Comme dans le cas local, les paires de Borel épinglées des différents G p
s’identifient et les G p ont un L-groupe commun, que l’on note
L G. La donnée
supplémentaire d’un élément a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)) détermine un
caractère de chaque G p (A F ), que l’on note simplement ω.
Pour tout p ∈ Π, on fixe une paire parabolique (P p,0 , M p,0 ) de G p définie
sur F et minimale. Pour toute place v ∈ Val(F ), on fixe une paire parabolique
(P p,v,0 , M p,v,0 ) de G p définie sur F v et minimale, de sorte que P p,v,0 ⊂ P p,0 et
M p,v,0 ⊂ M p,0 . Soulignons que ces inclusions peuvent être strictes : le groupe G p
peut être plus déployé sur F v que sur F . Il se déduit de ces paires des paires
d’espaces ( ˜
P p,0 , ˜
M p,0 ) et ( ˜
P p,v,0 , ˜
M p,v,0 ).
Soit v une place de F finie ou complexe. Alors H
1 (F v ; G p,SC ) = {1} pour
tout p. Fixons un élément p
∈ Π. On peut fixer pour tout p ∈ Π un élément
x p ∈ G p ,SC ( ¯
F v ) tel que ∇ p ,p (σ) = x
−1
p σ(x p ) pour tout σ ∈ Γ Fv . Définissons
φ
p ,p = ad xp ◦φ p ,p et ˜
φ
p ,p = ad xp ◦ ˜
φ p ,p . Alors φ
p ,p : G p → G p et ˜
φ
p ,p : ˜
G p →
˜
G p sont des isomorphismes définis sur F v . Quitte à multiplier x p à gauche par
un élément de G p ,SC (F v ), on peut supposer que φ
p ,p envoie (P p,v,0 , M p,v,0 ) sur
(P p ,v,0 , M p ,v,0 ) et que ˜
φ p ,p envoie ( ˜
P p,v,0 , ˜
M p,v,0 ) sur ( ˜
P p ,v,0 , ˜
M p ,v,0 ). Les différents espaces I( ˜
G p (F v ), ω) s’identifient grâce à ces isomorphismes ˜
φ
p ,p à l’espace
I( ˜
G p (F v ), ω), que l’on peut noter simplement I( ˜
G(F v ), ω). Notons que, bien que
les ˜
φ
p ,p dépendent du choix des x p , les isomorphismes qui s’en déduisent entre les
espaces I( ˜
G p (F v ), ω) ne dépendent pas de ce choix.
Puisque les différents espaces ˜
G p s’identifient sur F v pour toute place finie, les
ensembles V ram ( ˜
G p , a) sont les mêmes, on les note V ram ( ˜
G, a), ou simplement V ram .
Pour l’élément p
fixé ci-dessus et pour toute place v ∈ V ram , on choisit un espace
hyperspécial ˜
K p ,v de ˜
G p (F v ) de sorte que les conditions de 1.1 soient vérifiées.
Pour p ∈ Π, on note ˜
K p,v l’image de ˜
K p ,v par ( ˜
φ
p ,p )
−1 . Alors les fonctions
caractéristiques 1 ˜
Kp,v de ˜
K p,v , pour p ∈ Π, ont même image dans I( ˜
G(F v ), ω). On
peut noter 1 ˜
Kv cette image.
Les choses sont plus compliquées en une place réelle. Soit v une telle place.
Pour p, q ∈ Π, notons ∇ p,q,v la restriction de ∇ p,q à Γ Fv . Disons que p et q sont
v-équivalents si et seulement si π(∇ p,q,v ) est cohomologiquement trivial. On vérifie
que c’est une relation d’équivalence. Fixons un ensemble Π v ⊂ Π de représentants
des classes de v-équivalence. On voit que la famille (G p,v , ˜
G p,v ) p∈Πv , munie des
familles (φ p,q ) p,q∈Πv , ( ˜
φ p,q ) p,q∈Πv et (∇ p,q,v ) p,q∈Πv , définit un K-espace sur F v , au