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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On rappelle que l’on note π : G SC → G la projection naturelle ainsi que
les applications qui s’en déduisent fonctoriellement. Ainsi, on a une application
π : H
1 (F ; G SC ) → H
1 (F, G). D’autre part, pour r ∈ ˜
G(F ), l’application ad r
définit naturellement un automorphisme de H
1 (F ; G) qui ne dépend pas de r. On
le note θ. On note Val R (F ) l’ensemble des places réelles de F .
Lemme. L’application naturelle
π(H
1 (F ; G SC )) ∩ H
1 (F ; G)
θ
→
v∈Val R (F )
π(H
1 (F v ; G SC )) ∩ H
1 (F v ; G)
θ
est bijective.
Preuve. On commence par prouver que l’application
(1)
π(H
1 (F ; G SC )) →
v∈Val R (F )
π(H
1 (F v ; G SC ))
est bijective. La surjectivité résulte de celle de l’application
H
1 (F ; G SC ) →
v∈Val R (F )
H
1 (F v ; G SC ),
cf. [51] théorème 1.6.9. Soient p, p
∈ H
1 (F ; G SC ) tels que π(p) et π(p
) aient même
image par l’application (1). Alors π(p) et π(p
) ont même image dans H
1 (A F ; G)
(les images aux places non réelles sont triviales). Parce qu’ils proviennent de G SC ,
les éléments π(p) et π(p
) ont aussi une image nulle dans H
1
ab (F ; G), cf. [51] 1.6 pour
la définition de ce groupe. D’après le théorème 1.6.10 de [51], ces deux propriétés
entraînent π(p) = π(p
). D’où l’injectivité de (1).
Il est immédiat que l’application (1) est équivariante pour les actions naturelles de θ. La bijectivité de (1) entraîne donc celle de l’application obtenue en
remplaçant les espaces de départ et d’arrivée par leurs sous-espaces d’invariants
par θ. Cette application n’est autre que celle de l’énoncé.
On devra à diverses occasions travailler non pas avec les données (G, ˜
G, a)
de 1.1, mais avec une collection finie de telles données, que l’on appellera un
K-espace. On a défini (après Arthur) cette notion en [I] 1.11 dans le cas local.
La définition s’étend au cas global. Rappelons-la. On considère une famille finie
(G p , ˜
G p ) p∈Π où, pour tout p, G p est un groupe réductif connexe défini sur F
et ˜
G p est un espace tordu sur G p . On suppose données des familles (φ p,q ) p,q∈Π ,
( ˜
φ p,q ) p,q∈Π et (∇ p,q ) p,q∈Π . Pour p, q ∈ Π, φ p,q : G q → G p et ˜
φ p,q : ˜
G q → ˜
G p
sont des isomorphismes compatibles définis sur ¯
F et ∇ p,q : Γ F → G p,SC ( ¯
F ) est
un cocycle. On suppose les hypothèses (1) à (5) vérifiées pour tous p, q, r ∈ Π et
σ ∈ Γ R :
(1) φ p,q ◦ σ(φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) et ˜
φ p,q ◦ σ( ˜
φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) (ce dernier automorphisme est l’action par conjugaison de ∇ p,q (σ) sur ˜
G p ) ;
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On rappelle que l’on note π : G SC → G la projection naturelle ainsi que
les applications qui s’en déduisent fonctoriellement. Ainsi, on a une application
π : H
1 (F ; G SC ) → H
1 (F, G). D’autre part, pour r ∈ ˜
G(F ), l’application ad r
définit naturellement un automorphisme de H
1 (F ; G) qui ne dépend pas de r. On
le note θ. On note Val R (F ) l’ensemble des places réelles de F .
Lemme. L’application naturelle
π(H
1 (F ; G SC )) ∩ H
1 (F ; G)
θ
→
v∈Val R (F )
π(H
1 (F v ; G SC )) ∩ H
1 (F v ; G)
θ
est bijective.
Preuve. On commence par prouver que l’application
(1)
π(H
1 (F ; G SC )) →
v∈Val R (F )
π(H
1 (F v ; G SC ))
est bijective. La surjectivité résulte de celle de l’application
H
1 (F ; G SC ) →
v∈Val R (F )
H
1 (F v ; G SC ),
cf. [51] théorème 1.6.9. Soient p, p
∈ H
1 (F ; G SC ) tels que π(p) et π(p
) aient même
image par l’application (1). Alors π(p) et π(p
) ont même image dans H
1 (A F ; G)
(les images aux places non réelles sont triviales). Parce qu’ils proviennent de G SC ,
les éléments π(p) et π(p
) ont aussi une image nulle dans H
1
ab (F ; G), cf. [51] 1.6 pour
la définition de ce groupe. D’après le théorème 1.6.10 de [51], ces deux propriétés
entraînent π(p) = π(p
). D’où l’injectivité de (1).
Il est immédiat que l’application (1) est équivariante pour les actions naturelles de θ. La bijectivité de (1) entraîne donc celle de l’application obtenue en
remplaçant les espaces de départ et d’arrivée par leurs sous-espaces d’invariants
par θ. Cette application n’est autre que celle de l’énoncé.
On devra à diverses occasions travailler non pas avec les données (G, ˜
G, a)
de 1.1, mais avec une collection finie de telles données, que l’on appellera un
K-espace. On a défini (après Arthur) cette notion en [I] 1.11 dans le cas local.
La définition s’étend au cas global. Rappelons-la. On considère une famille finie
(G p , ˜
G p ) p∈Π où, pour tout p, G p est un groupe réductif connexe défini sur F
et ˜
G p est un espace tordu sur G p . On suppose données des familles (φ p,q ) p,q∈Π ,
( ˜
φ p,q ) p,q∈Π et (∇ p,q ) p,q∈Π . Pour p, q ∈ Π, φ p,q : G q → G p et ˜
φ p,q : ˜
G q → ˜
G p
sont des isomorphismes compatibles définis sur ¯
F et ∇ p,q : Γ F → G p,SC ( ¯
F ) est
un cocycle. On suppose les hypothèses (1) à (5) vérifiées pour tous p, q, r ∈ Π et
σ ∈ Γ R :
(1) φ p,q ◦ σ(φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) et ˜
φ p,q ◦ σ( ˜
φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) (ce dernier automorphisme est l’action par conjugaison de ∇ p,q (σ) sur ˜
G p ) ;