VI.1. Les définitions
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par la formule
f 2 (γ 2 ) = ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 )f 1 (γ 1 )
pour tous (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (F V ). Cet isomorphisme se dualise en un isomorphisme
D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) D g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F V )).
On vérifie que les intégrales orbitales pondérées et leurs avatars invariants se recollent selon ces isomorphismes. C’est-à-dire, soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et soient, pour i =
1, 2, γ i ∈ D orb,λi ( ˜
M i (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f i ∈ C
∞
c,λi ( ˜
G i (F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
Supposons que, par les isomorphismes précédents, γ 1 et γ 2 se correspondent, ainsi
que f 1 et f 2 . Alors on a l’égalité
J
˜
G1
˜
M1,λ1
(γ 1 , f 1 ) = J
˜
G2
˜
M2,λ2
(γ 2 , f 2 ).
Si V contient V 12,ram , il y a une fonction ˜
λ 12,V canonique construite de la
façon suivante. Pour v ∈ V 12,ram , on définit une fonction ˜
λ 12,v sur ˜
G 12 (F v ) par les
conditions :
– ˜
λ 12,v vaut 1 sur ˜
G 12 (F v ) ∩ ( ˜
K 1,v × ˜
K 2,v ) ;
– pour x ∈ G 12 (F v ) et γ ∈ ˜
G 12 (F v ), ˜
λ 12,v (xγ) = λ 12,v (x) ˜
λ 12,v (γ).
On définit une fonction ˜
λ 12 sur ˜
G(A F ) par les conditions :
– ˜
λ 12 vaut 1 sur ˜
G(F ) ;
– pour x ∈ G 12 (A F ) et γ ∈ ˜
G 12 (A F ), ˜
λ 12 (xγ) = λ 12 (x) ˜
λ 12 (γ).
Il existe alors une unique fonction ˜
λ 12,V sur ˜
G 12 (F V ) de sorte que, pour
γ = γ V
v ∈V γ v ∈ ˜
G 12 (A F ), on ait l’égalité
˜
λ 12 (γ) = ˜
λ 12,V (γ V )
v ∈V
˜
λ 12,v (γ v ).
Evidemment, elle vérifie (1).
Si V ∩ V 12,ram = ∅, il y a aussi une fonction ˜
λ 12,V canonique : le produit des
˜
λ 12,v ci-dessus pour v ∈ V . Les formes linéaires r
˜
G1
˜
M1,λ1
(., ˜
K 1,V ) et r
˜
G2
˜
M2,λ2
(., ˜
K 2,V )
se correspondent par l’isomorphisme
D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) D g´ eom,λ2 ( ˜
M 2 (F V ))
déduit de cette fonction ˜
λ 12,V .
VI.1.16 K-espaces
On utilise dans ce paragraphe les notations usuelles pour divers ensembles de
cohomologie : H
1 (F ; G), H
1 (F v ; G), H
1 (A F ; G) etc. . . Par exemple H
1 (F ; G) =
H
1 (Γ F ; G( ¯
F )). On renvoie à [51] pour des définitions complètes.