614
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On doit fixer pour tout v ∈ V 1,ram un sous-espace hyperspécial ˜
K 1,v de
˜
G 1 (F v ), soumis aux conditions de 1.1. On suppose que ˜
K 1,v se projette sur ˜
K v . Le
groupe K C1,v = C 1 (F v ) ∩ K 1,v est le plus grand sous-groupe compact de C 1 (F v ).
Pour toute place v, on a défini en [I] 2.4 l’espace C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F v )). Pour v ∈
V 1,ram , on note 1 ˜
K1,v ,λ1 l’unique élément de cet espace à support dans C 1 (F v ) ˜
K 1,v
qui vaut 1 sur ˜
K 1,v . On note C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )) le produit tensoriel restreint des
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F v )) relativement à ces éléments 1 ˜
K1,v ,λ1 . Pour un ensemble fini V de
places de F , on définit
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) = ⊗ v∈V C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F v )).
Dualement, on définit de même l’espace D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) et ses sous-espaces
D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) etc. . . Les constructions des paragraphes précédents s’étendent à
cette situation. En particulier, soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). Notons ˜
M 1 son image réciproque
dans ˜
G 1 . On a l’égalité A
˜
G1
˜
M1
= A
˜
G
˜
M
et on munit le premier espace de la mesure
pour laquelle cette égalité préserve les mesures. Pour γ ∈ D orb,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) ⊗
Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on définit l’intégrale orbitale
pondérée J
˜
G1
˜
M1,λ1
(γ, f ) et son avatar invariant I
˜
G1
˜
M1,λ1
(γ, f ).
Supposons que V ∩ V ram = ∅. On définit une forme linéaire r
˜
G1
˜
M1,λ1
(., ˜
K 1,V )
sur D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) par
r
˜
G
˜
M,λ1
(δ, ˜
K 1,V ) = J
˜
G
˜
M
(δ, 1 ˜
KV ,λ1 ).
Elle vérifie une formule de descente analogue à celle de 1.13.
Considérons d’autres données
1 → C 2 → G 2 → G → 1, ˜
G 2 → ˜
G, λ 2
et des sous-espaces hyperspéciaux ˜
K 2,v de ˜
G 2 (F v ) pour v ∈ V 2,ram , vérifiant les
mêmes hypothèses. On note G 12 le produit fibré de G 1 et G 2 au-dessus de G et
˜
G 12 le produit fibré de ˜
G 1 et ˜
G 2 au-dessus de ˜
G. On suppose donné un caractère
automorphe λ 12 de G 12 (A F ) tel que la restriction de λ 12 à C 1 (A F ) × C 2 (A F ) soit
λ 1 × λ
−1
2 . Notons V 12,ram le plus petit ensemble de places de F contenant V 1,ram
et V 2,ram et tel que λ 12 soit non ramifié hors de V 12,ram .
Pour un ensemble fini V de places de F , notons λ 12,V la restriction de λ 12 à
G 12 (F V ). Fixons une fonction ˜
λ 12,V sur ˜
G 12 (F V ) telle que
(1)
˜
λ 12,V (x V γ V ) = λ 12,V (x V ) ˜
λ 12,V (γ V )
pour x V ∈ G 12 (F V ) et γ V ∈ ˜
G 12 (F V ). On définit un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) → C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F V ))
f 1
→
f 2
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On doit fixer pour tout v ∈ V 1,ram un sous-espace hyperspécial ˜
K 1,v de
˜
G 1 (F v ), soumis aux conditions de 1.1. On suppose que ˜
K 1,v se projette sur ˜
K v . Le
groupe K C1,v = C 1 (F v ) ∩ K 1,v est le plus grand sous-groupe compact de C 1 (F v ).
Pour toute place v, on a défini en [I] 2.4 l’espace C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F v )). Pour v ∈
V 1,ram , on note 1 ˜
K1,v ,λ1 l’unique élément de cet espace à support dans C 1 (F v ) ˜
K 1,v
qui vaut 1 sur ˜
K 1,v . On note C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )) le produit tensoriel restreint des
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F v )) relativement à ces éléments 1 ˜
K1,v ,λ1 . Pour un ensemble fini V de
places de F , on définit
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) = ⊗ v∈V C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F v )).
Dualement, on définit de même l’espace D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) et ses sous-espaces
D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) etc. . . Les constructions des paragraphes précédents s’étendent à
cette situation. En particulier, soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). Notons ˜
M 1 son image réciproque
dans ˜
G 1 . On a l’égalité A
˜
G1
˜
M1
= A
˜
G
˜
M
et on munit le premier espace de la mesure
pour laquelle cette égalité préserve les mesures. Pour γ ∈ D orb,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) ⊗
Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on définit l’intégrale orbitale
pondérée J
˜
G1
˜
M1,λ1
(γ, f ) et son avatar invariant I
˜
G1
˜
M1,λ1
(γ, f ).
Supposons que V ∩ V ram = ∅. On définit une forme linéaire r
˜
G1
˜
M1,λ1
(., ˜
K 1,V )
sur D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) par
r
˜
G
˜
M,λ1
(δ, ˜
K 1,V ) = J
˜
G
˜
M
(δ, 1 ˜
KV ,λ1 ).
Elle vérifie une formule de descente analogue à celle de 1.13.
Considérons d’autres données
1 → C 2 → G 2 → G → 1, ˜
G 2 → ˜
G, λ 2
et des sous-espaces hyperspéciaux ˜
K 2,v de ˜
G 2 (F v ) pour v ∈ V 2,ram , vérifiant les
mêmes hypothèses. On note G 12 le produit fibré de G 1 et G 2 au-dessus de G et
˜
G 12 le produit fibré de ˜
G 1 et ˜
G 2 au-dessus de ˜
G. On suppose donné un caractère
automorphe λ 12 de G 12 (A F ) tel que la restriction de λ 12 à C 1 (A F ) × C 2 (A F ) soit
λ 1 × λ
−1
2 . Notons V 12,ram le plus petit ensemble de places de F contenant V 1,ram
et V 2,ram et tel que λ 12 soit non ramifié hors de V 12,ram .
Pour un ensemble fini V de places de F , notons λ 12,V la restriction de λ 12 à
G 12 (F V ). Fixons une fonction ˜
λ 12,V sur ˜
G 12 (F V ) telle que
(1)
˜
λ 12,V (x V γ V ) = λ 12,V (x V ) ˜
λ 12,V (γ V )
pour x V ∈ G 12 (F V ) et γ V ∈ ˜
G 12 (F V ). On définit un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) → C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F V ))
f 1
→
f 2