VI.1. Les définitions
613
H v ∈ a ˜
M (F v ) est proche de 0. Pour n ≥ 1, on a α
(a v )
n = exp(
nm
b α, H v ). Donc
l’expression log(|α
(a v )
n
− α
(a v )
−n
| Fv ) − log(|α(a v ) − α(a v )
−1
| Fv ) − log(|
nm
b | Fv )
tend vers 0 quand a tend vers 1. Posons
Y α (γ, a, B) =
v∈V
log(|α(a v ) − α(a v )
−1
| Fv )
n≥1
ρ(nα
, γ, B)
+
n≥1
ρ(nα
, γ, B)
v∈V
log
nm
b
Fv
.
En se reportant à l’expression (6), on voit que X α (γ, a, B) − Y α (γ, a, B) tend vers
0 quand a tend vers 1. On a supposé que V contenait V ram . Donc b est une unité
en toute place v ∈ Val(F ) − V . Le même calcul que dans la preuve du lemme [II]
1.9 montre que les seuls premiers pouvant diviser les nombres n et m intervenant
ci-dessus sont 2, 3 et 5. Ces nombres sont donc eux-aussi des unités hors de V . La
formule du produit entraîne alors
v∈V
log
𨐽
nm
b
Fv
= 0.
La définition de Y α (γ, a, B) se simplifie en
Y α (γ, a, B) =
v∈V
log(|α(a v ) − α(a v )
−1
| Fv )
n≥1
ρ(nα
, γ, B).
Un calcul analogue vaut pour X α (γ, B). Si on pose
Y α (γ, a) =
v∈V
log(|α(a v ) − α(a v )
−1
| Fv )
n≥1
ρ(nα, γ),
on a lim a→1 (X α (γ, a) − Y α (γ, a)) = 0. Mais (9) entraîne que Y α (γ,a)= Y α (γ,a,B).
On en déduit la relation (7), ce qui achève la preuve.
VI.1.15 Variante avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une
extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1
où C 1 est un tore induit central, et une extension compatible ˜
G 1 → ˜
G, encore
à torsion intérieure. On fixe un caractère λ 1 de C 1 (A F ), automorphe c’est-à-dire
trivial sur C 1 (F ). Notons V 1,ram (ou plus précisément V ram ( ˜
G 1 , λ 1 )) le plus petit
ensemble de places de F contenant V ram ( ˜
G 1 ) et tel que λ 1,v soit non ramifié pour
v ∈ V 1,ram .