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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
du groupe ambiant G η , notons-le ici ρ
Gη
v (nα, u). On a introduit en [II] 1.4 un
sous-groupe G η,nα de G η . On a l’égalité ρ
Gη
v (nα, u) = ρ
Gη,nα
v
(nα, u). L’hypothèse
n ≥ 2 implique que dim(G η,nα,SC ) < dim(G η ). En raisonnant par récurrence sur
cette dimension, on peut supposer que ρ
Gη,nα
v
(nα, u) est indépendant de v. Donc
ρ
Gη
v (nα, u) aussi. Le même raisonnement vaut pour ρ
Gη
v (nα
, u, B), en utilisant le
groupe G η,nα de [II] 1.8 (ce n’est plus un sous-groupe de G η mais peu importe).
L’assertion étant démontrée pour n ≥ 2, il nous suffit pour conclure de prouver
que les sommes
n≥1
ρ v (nα, u) et
n≥1
ρ v (nα
, u, B)
sont indépendantes de v. D’après [II] 1.8(6), ces deux sommes sont égales. D’après
la définition de [II] 1.4, elles valent le terme ρ
Art
v (α, u)ˇ α défini primitivement par
Arthur en [9] paragraphe 3. Rappelons brièvement sa définition. Fixons une extension finie F
v de F v sur laquelle G η est déployée. A α est associé un Levi M η,α de G η
qui contient strictement M η et qui est minimal parmi les Levi vérifiant cette propriété. Le terme ρ
Art
v (α, u)ˇ α relatif au groupe ambiant G η est égal à celui relatif à
M η,α . On ne perd rien à supposer G η = M η,α . Fixons P = M η U P ∈ P(M η ), notons
¯
P = M η U ¯
P le parabolique opposé et notons U l’orbite de u pour la conjugaison par
M η . Fixons un poids ω de A Mη qui est dominant pour P , fixons une représentation
algébrique irréductible Λ ω de G η dans un espace V ω , de plus haut poids ω. Fixons
un vecteur extrémal φ ω ∈ V ω , de poids ω. Pour a ∈ A Mη en position générale et
pour π = nν ∈ UU ¯
P , avec n ∈ U et ν ∈ U ¯
P , introduisons l’élément ν(a, π) ∈ U ¯
P tel
que aπ = ν(a, π)
−1 anν(a, π). On pose ϕ(a, π) = Λ ω (ν(a, π)
−1 )φ ω . Arthur montre
en [14] page 238 que ϕ est une application rationnelle sur A Mη × UU ¯
P , à valeurs
dans V ω , et qu’il existe un unique entier k ∈ Z tel que la fonction
(a, π) → (α(a) − α(a)
−1 )
k ϕ(a, π)
soit régulière et non nulle sur {1} × UU ¯
P . Une coracine ˇ
α étant fixée, ρ
Art
v (α, u) est
l’unique réel tel que k = ω(ˇ α)ρ
Art
v (α, u). Fixons une extension finie F
de F telle
que G η soit déployé sur F
. La construction ci-dessus étant de nature algébrique,
on peut la refaire sur le corps de base F
. On obtient un nombre réel ρ
Art (α, u)
indépendant de la place v et il est clair que ρ
Art
v (α, u) = ρ
Art (α, u) pour tout v.
Cela prouve (8).
Supprimons désormais les indices v des termes ρ v (nα, u) et ρ v (nα
, u, B).
Comme on l’a dit dans la preuve ci-dessus, il résulte de [II] 1.8(6) que
(9)
n≥1
ρ(nα, u) =
n≥1
ρ(nα
, u, B).
Soit β ∈ Σ
Gη (T ) telle que α
soit la restriction de B η (β)
−1 β à Z(M η )
0 .
Posons b = B η (β) et soit m ≥ 1 tel que la restriction de β soit mα. Alors α
=
m
b α.
L’élément a étant supposé proche de 1, on écrit a v = exp(H v ) pour tout v ∈ V , où
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
du groupe ambiant G η , notons-le ici ρ
Gη
v (nα, u). On a introduit en [II] 1.4 un
sous-groupe G η,nα de G η . On a l’égalité ρ
Gη
v (nα, u) = ρ
Gη,nα
v
(nα, u). L’hypothèse
n ≥ 2 implique que dim(G η,nα,SC ) < dim(G η ). En raisonnant par récurrence sur
cette dimension, on peut supposer que ρ
Gη,nα
v
(nα, u) est indépendant de v. Donc
ρ
Gη
v (nα, u) aussi. Le même raisonnement vaut pour ρ
Gη
v (nα
, u, B), en utilisant le
groupe G η,nα de [II] 1.8 (ce n’est plus un sous-groupe de G η mais peu importe).
L’assertion étant démontrée pour n ≥ 2, il nous suffit pour conclure de prouver
que les sommes
n≥1
ρ v (nα, u) et
n≥1
ρ v (nα
, u, B)
sont indépendantes de v. D’après [II] 1.8(6), ces deux sommes sont égales. D’après
la définition de [II] 1.4, elles valent le terme ρ
Art
v (α, u)ˇ α défini primitivement par
Arthur en [9] paragraphe 3. Rappelons brièvement sa définition. Fixons une extension finie F
v de F v sur laquelle G η est déployée. A α est associé un Levi M η,α de G η
qui contient strictement M η et qui est minimal parmi les Levi vérifiant cette propriété. Le terme ρ
Art
v (α, u)ˇ α relatif au groupe ambiant G η est égal à celui relatif à
M η,α . On ne perd rien à supposer G η = M η,α . Fixons P = M η U P ∈ P(M η ), notons
¯
P = M η U ¯
P le parabolique opposé et notons U l’orbite de u pour la conjugaison par
M η . Fixons un poids ω de A Mη qui est dominant pour P , fixons une représentation
algébrique irréductible Λ ω de G η dans un espace V ω , de plus haut poids ω. Fixons
un vecteur extrémal φ ω ∈ V ω , de poids ω. Pour a ∈ A Mη en position générale et
pour π = nν ∈ UU ¯
P , avec n ∈ U et ν ∈ U ¯
P , introduisons l’élément ν(a, π) ∈ U ¯
P tel
que aπ = ν(a, π)
−1 anν(a, π). On pose ϕ(a, π) = Λ ω (ν(a, π)
−1 )φ ω . Arthur montre
en [14] page 238 que ϕ est une application rationnelle sur A Mη × UU ¯
P , à valeurs
dans V ω , et qu’il existe un unique entier k ∈ Z tel que la fonction
(a, π) → (α(a) − α(a)
−1 )
k ϕ(a, π)
soit régulière et non nulle sur {1} × UU ¯
P . Une coracine ˇ
α étant fixée, ρ
Art
v (α, u) est
l’unique réel tel que k = ω(ˇ α)ρ
Art
v (α, u). Fixons une extension finie F
de F telle
que G η soit déployé sur F
. La construction ci-dessus étant de nature algébrique,
on peut la refaire sur le corps de base F
. On obtient un nombre réel ρ
Art (α, u)
indépendant de la place v et il est clair que ρ
Art
v (α, u) = ρ
Art (α, u) pour tout v.
Cela prouve (8).
Supprimons désormais les indices v des termes ρ v (nα, u) et ρ v (nα
, u, B).
Comme on l’a dit dans la preuve ci-dessus, il résulte de [II] 1.8(6) que
(9)
n≥1
ρ(nα, u) =
n≥1
ρ(nα
, u, B).
Soit β ∈ Σ
Gη (T ) telle que α
soit la restriction de B η (β)
−1 β à Z(M η )
0 .
Posons b = B η (β) et soit m ≥ 1 tel que la restriction de β soit mα. Alors α
=
m
b α.
L’élément a étant supposé proche de 1, on écrit a v = exp(H v ) pour tout v ∈ V , où