VI.1. Les définitions
611
Fixons β et considérons la formule (4). Notons Σ
Gη
ind (Z(M η )
0 ) l’ensemble des éléments indivisibles de Σ
Gη (Z(M η )
0 ). Pour α ind ∈ Σ
Gη
ind (Z(M η )
0 ), définissons une
fonction c α (γ, a, B; x) par une formule analogue à (4), où on se restreint aux α
qui sont multiples entiers positifs de α ind et aux α
qui sont multiples rationnels
positifs de α ind . On obtient une décomposition
c β (γ, a, B; x) =
α ind ∈Σ
Gη
ind (Z(Mη ) 0 ),α ind, ˜
M ∈Z>0β
c α ind (γ, a, B; x).
Il nous suffit de fixer α ind ∈ Σ
Gη
ind (Z(M η )
0 ) et de prouver la relation
lim
a→1
c
α ind
(γ, a, B; 0) = 0.
Fixons donc un élément de Σ
Gη
ind (Z(M η )
0 ). Pour la commodité de l’écriture, notonsle simplement α. On a vu en [II] 1.8 que l’ensemble Σ
Gη
ind (Z(M η )
0 , B) possédait
beaucoup des propriétés des systèmes de racines. En particulier, l’ensemble des
α
∈ Σ
Gη
ind (Z(M η )
0 , B) qui sont des multiples rationnels positifs de α possède un
unique élément minimal, notons-le simplement α
. Les autres éléments de cet ensemble sont des multiples entiers positifs de α
. Posons alors
(5)
X α (γ, a) =
v∈V
n≥1
log(|α(a v )
n
− α(a v )
−n
| Fv )ρ v (nα, u),
(6)
X α (γ, a, B) =
v∈V
n≥1
log(|α
(a v )
n
− α
(a v )
−n
| Fv )ρ v (nα
, u, B),
où, par convention, les termes ρ v (nα, u) et ρ v (nα
, u, B) sont nuls si
nα ∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 ), resp. nα
∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 , B).
On calcule
c
α (γ, a, B; 0) =
i
4
β, X α (γ, a, B) − X α (γ, a) ,
où β est l’unique élément de Σ ind (A ˜
M ) tel que α ˜
M soit un multiple entier positif
de β. Il nous suffit de prouver l’égalité
(7)
lim
a→1
(X α (γ, a) − X α (γ, a, B)) = 0.
On a besoin de deux résultats préliminaires. D’abord
(8) pour tout n ≥ 1, les termes ρ v (nα, u) et ρ v (nα
, u, B) sont indépendants de
v ∈ V .
Preuve. C’est clair si nα ∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 ), resp. nα
∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 , B). Soit n ≥
2, supposons que nα ∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 ). Soit v ∈ V . Notre terme ρ v (nα, u) dépend