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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
selon cet élément β et on obtient une décomposition en produit
r ˜
P (γ, a, B; Λ) =
β∈Σ ind (A ˜
M ),β ˜
M >P 0
r β (γ, a, B; Λ).
Fixons β ∈ Σ ind (A ˜
M ). On peut introduire une coracine ˇ
β ∈ A ˜
M , normalisée par
la condition
β, ˇ
β
= 2. Il résulte des constructions de [II] 1.4 que, si α est un
élément de Σ
Gη (Z(M η )
0 ) tel que α ˜
M est un multiple entier de β, alors, pour tout
v ∈ V , la projection orthogonale de ρ v (α, u) sur A ˜
M est colinéaire à ˇ
β. Il en résulte
que
Λ, ρ v (α, u) /2 = β, ρ v (α, u)
Λ, ˇ
β
/2.
De même, il résulte des constructions de [II] 1.8 que, si α
est un élément de
Σ
Gη (Z(M η )
0 , B) tel que α
˜
M
est un multiple rationnel de β, alors, pour tout v ∈ V ,
la projection orthogonale de ρ v (α
, u, B) sur A ˜
M est colinéaire à ˇ
β. Il en résulte
que
Λ, ρ v (α
, u, B) /2 = β, ρ v (α
, u, B)
Λ, ˇ
β
/2.
Définissons une fonction c β (γ, a, B; x) d’une variable réelle x par l’égalité
c β (γ, a, B; x)
=
v∈V
⎛
⎜
⎝
α ∈Σ
Gη (Z(Mη ) 0 ,B);α
˜
M
∈Q>0β
|α
(a v ) − α
(a v )
−1
|
ixβ,ρv (α
,u,B)/4
Fv
⎞
⎟
⎠
(4)
⎛
⎝
α∈Σ
Gη (Z(Mη ) 0 );α ˜
M ∈Z>0β
|α(a v ) − α(a v )
−1
|
−ixβ,ρv (α,u)/4
Fv
⎞
⎠ .
On obtient alors l’égalité
c β (γ, a, B; −i
Λ, ˇ
β
) = r β (γ, a, B; Λ)r β (γ, a; Λ)
−1 .
D’où l’égalité
c ˜
P (γ, a, B; Λ) =
β∈Σ ind (A ˜
M ),β>P 0
c β (γ, a, B; −i
Λ, ˇ
β
).
Cela montre que la famille (c ˜
P (γ, a, B; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M ) est de la forme particulière
étudiée par Arthur en [3]. Le lemme 7.1 de cette référence calcule explicitement
c
˜
G
˜
M
(γ, a, B) : c’est une combinaison linéaire de produits des dérivées c
β (γ, a, B; x)
des fonctions c β (γ, a, B; x) évaluées en x = 0. Pour prouver (1), il suffit de fixer
β ∈ Σ ind (A ˜
M ) et de prouver la relation
lim
a→1
c
β (γ, a, B; 0) = 0.