VI.1. Les définitions
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Σ
Gη (Z(M η )
0 ) et Σ(A ˜
M ) de racines de Z(M η )
0 dans g η , resp. de A ˜
M dans g. On
a une application de restriction
Σ
Gη (Z(M η )
0 ) → Σ(A ˜
M )
α
→
α ˜
M
Posons Z = X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ Z R. On a A ˜
M ⊂ Z. Puisque Z est muni d’une forme
quadratique définie positive (cf. 1.3), on a aussi une inclusion d’espaces duaux
A
∗
˜
M
⊂ Z
∗ . Fixons v ∈ V et α ∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 ). En [II] 1.4, on a défini un élément
de Z, noté alors ρ(α, u). Sa définition dépend a priori de la place v, notons-le
plutôt ρ v (α, u). Soient ˜
P ∈ P( ˜
M ), a = (a v ) v∈V ∈ A ˜
M (F V ) et Λ ∈ iA
∗
˜
M
. Il résulte
des définitions que l’on a l’égalité
(2)
r ˜
P (γ, a; Λ) =
v∈V
α∈Σ
Gη (Z(Mη ) 0 );α ˜
M >P 0
|α(a v ) − α(a v )
−1
|
Λ,ρv (α,u)/2
Fv
,
où le symbole > P désigne la positivité relative à P .
Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par ad η et telle que M soit
standard pour cette paire. Introduisons l’ensemble Σ
Gη (T ) des racines de T dans
g η . On a introduit en [II] 1.8 l’ensemble Σ
Gη (T, B η ) formé des B η (α)
−1 α pour α ∈
Σ
Gη (T, B η ) (on considère ces éléments comme des formes linéaires sur t). On note
Σ
Gη (Z(M η )
0 , B) l’ensemble des restrictions à z(M η ) d’éléments de Σ
Gη (T, B η ).
Fixons v ∈ V et α
∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 , B). En [II] 1.4, on a défini un élément de Z,
noté alors ρ(α
, u, B), qu’il convient de noter plutôt ρ v (α
, u, B). Soient ˜
P ∈ P( ˜
M ),
a = (a v ) v∈V ∈ A ˜
M (F V ) et Λ ∈ iA
∗
˜
M
. Un élément α
∈ Σ
Gη (Z(M η )
0 , B) se restreint
à a ˜
M en un élément α
˜
M
= qβ, où q ∈ Q >0 et β ∈ Σ(A ˜
M ). On dit que α
˜
M
> P 0 si
et seulement si β > P 0. D’autre part, l’élément a étant supposé proche de 1, on
peut écrire a v = exp(H v ) pour tout v ∈ V , où H v ∈ a ˜
M (F v ) est proche de 0. On
pose α
(a v ) = exp(qβ(H v )). Il résulte alors des définitions que l’on a l’égalité
(3)
r ˜
P (γ, a, B; Λ)
=
v∈V
α ∈Σ
Gη (Z(Mη ) 0 ,B);α
˜
M
>P 0
|α
(a v ) − α
(a v )
−1
|
Λ,ρv(α
,u,B)/2
Fv
.
Notons Σ ind (A ˜
M ) l’ensemble des éléments indivisibles de Σ(A ˜
M ). Un élément
α intervenant dans (2) se restreint en un élément α ˜
M qui est un multiple entier
positif d’un unique élément β ∈ Σ ind (A ˜
M ). On regroupe les α selon cet élément β
et on obtient une décomposition en produit
r ˜
P (γ, a; Λ) =
β∈Σ ind (A ˜
M ),β ˜
M >P 0
r β (γ, a; Λ).
Un élément α
intervenant dans (3) se restreint en un élément α
˜
M
qui est un
multiple rationnel positif d’un unique élément β ∈ Σ ind (A ˜
M ). On regroupe les α