608
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), où a parcourt les éléments de A ˜
M (F V ) en position
générale. De même,
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = lim
a→1
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a, B)I
˜
G
˜
L
(aγ, f ).
Rappelons que, pour a en position générale, l’élément aγ est ˜
G-équisingulier donc
I
˜
G
˜
L
(aγ, B, f) = I
˜
G
˜
L
(aγ, f ) pour tout ˜
L. Rappelons que les termes r
˜
L
˜
M
(γ, a) et
r
˜
L
˜
M
(γ, a, B) sont issus de ( ˜
G, ˜
M )-familles
(r ˜
P (γ, a; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M)
et (r ˜
P (γ, a, B; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) .
Définissons une ( ˜
G, ˜
M )-famille (c ˜
P (γ, a, B; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
c ˜
P (γ, a, B; Λ) = r ˜
P (γ, a, B; Λ)r ˜
P (γ, a; Λ)
−1 .
Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ), on a la formule de décomposition
r
˜
L
˜
M
(γ, a, B) =
˜
R∈L( ˜
M), ˜
R⊂ ˜
L
c
˜
R
˜
M
(γ, a, B)r
˜
L
˜
R
(γ, a).
D’où
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = lim
a→1
˜
R∈L( ˜
M)
c
˜
R
˜
M
(γ, a, B)
˜
L∈L( ˜
R)
r
˜
L
˜
R
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, f ).
En utilisant la formule de descente 1.4(1) et [II] 1.7(12), on voit que pour tout ˜
R, la
somme intérieure a une limite quand a tend vers 1. Cette limite est I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R , f), où
γ
˜
R est la distribution induite à ˜
R(F V ) de l’intégrale orbitale dans ˜
M (F V ) associée
à γ. Pour prouver le lemme, il suffit de prouver la relation
lim
a→1
c
˜
R
˜
M
(γ, a, B) =
1, si ˜
R = ˜
M,
0, si ˜
R = ˜
M
pour tout ˜
R ∈ L( ˜
M ). Un tel ˜
R étant fixé, on peut remplacer l’espace ambiant ˜
G
par ˜
R. Cela nous ramène à prouver la relation
(1)
lim
a→1
c
˜
G
˜
M
(γ, a, B) =
1, si ˜
G = ˜
M ,
0, si ˜
G = ˜
M .
Le cas ˜
G = ˜
M est évident. On suppose désormais ˜
M = ˜
G.
Rappelons la construction de nos ( ˜
G, ˜
M )-familles. Ecrivons ˙
γ = uη, où η ∈
˜
M (F ) est semi-simple et u ∈ M η (F ) est unipotent. On introduit les ensembles