VI.1. Les définitions
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premier cas, γ est conjugué par un élément de M (F V ) à un élément du support de
f et la conclusion s’ensuit. Dans le deuxième cas, le lemme 1.7 nous dit que φ ˜
L (f )
appartient à I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω). Puisque ˜
L = ˜
G, on peut appliquer le lemme par
récurrence, d’où encore la conclusion.
VI.1.13 Le cas non ramifié
Soit V un ensemble fini de places de F . Contrairement à l’habitude, on suppose ici
V ∩ V ram = ∅. En particulier, les places dans V sont finies. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). On
se débarrasse des espaces de mesures en fixant sur G(F V ) et M (F V ) les mesures
canoniques. On définit une forme linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K V ) sur D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) par
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K V ) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
KV )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω). Remarquons que, pour tout espace parabolique
˜
Q = ˜
LU Q ∈ L( ˜
M 0 ) et tout v ∈ V , on a l’égalité (1 ˜
Kv ) ˜
Q,ω = 1 ˜
K
˜
L
v
. Pour γ =
⊗ v∈V γ v , la formule de descente 1.8(1) donne donc
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K V ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
r
˜
L
v
˜
Mv
(γ v , ˜
K
˜
L
v
v ),
où les derniers facteurs sont les termes locaux définis en [II] 4.1.
VI.1.14 Intégrales orbitales pondérées invariantes
et systèmes de fonctions B
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un système de
fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), V un ensemble fini de places et
γ ∈ ˜
M (F V ). De la même façon que dans le paragraphe 1.10, et modulo des choix
de mesures de Haar, on définit l’intégrale orbitale pondérée invariante I
˜
G
˜
M
(γ, B, f )
pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )). Elle vérifie les mêmes propriétés qu’en 1.10 et 1.11.
Lemme. Supposons que V contienne V ram . Soit ˙
γ ∈ ˜
M (F ), notons γ son image
naturelle dans ˜
M (F V ). Alors on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f )
pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )).
Preuve. On vérifie que le procédé de limite utilisé pour définir les intégrales orbitales pondérées s’étend aux intégrales invariantes. On a donc
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = lim
a→1
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, f )
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premier cas, γ est conjugué par un élément de M (F V ) à un élément du support de
f et la conclusion s’ensuit. Dans le deuxième cas, le lemme 1.7 nous dit que φ ˜
L (f )
appartient à I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω). Puisque ˜
L = ˜
G, on peut appliquer le lemme par
récurrence, d’où encore la conclusion.
VI.1.13 Le cas non ramifié
Soit V un ensemble fini de places de F . Contrairement à l’habitude, on suppose ici
V ∩ V ram = ∅. En particulier, les places dans V sont finies. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). On
se débarrasse des espaces de mesures en fixant sur G(F V ) et M (F V ) les mesures
canoniques. On définit une forme linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K V ) sur D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) par
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K V ) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
KV )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω). Remarquons que, pour tout espace parabolique
˜
Q = ˜
LU Q ∈ L( ˜
M 0 ) et tout v ∈ V , on a l’égalité (1 ˜
Kv ) ˜
Q,ω = 1 ˜
K
˜
L
v
. Pour γ =
⊗ v∈V γ v , la formule de descente 1.8(1) donne donc
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K V ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
r
˜
L
v
˜
Mv
(γ v , ˜
K
˜
L
v
v ),
où les derniers facteurs sont les termes locaux définis en [II] 4.1.
VI.1.14 Intégrales orbitales pondérées invariantes
et systèmes de fonctions B
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un système de
fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), V un ensemble fini de places et
γ ∈ ˜
M (F V ). De la même façon que dans le paragraphe 1.10, et modulo des choix
de mesures de Haar, on définit l’intégrale orbitale pondérée invariante I
˜
G
˜
M
(γ, B, f )
pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )). Elle vérifie les mêmes propriétés qu’en 1.10 et 1.11.
Lemme. Supposons que V contienne V ram . Soit ˙
γ ∈ ˜
M (F ), notons γ son image
naturelle dans ˜
M (F V ). Alors on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f )
pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )).
Preuve. On vérifie que le procédé de limite utilisé pour définir les intégrales orbitales pondérées s’étend aux intégrales invariantes. On a donc
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = lim
a→1
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, f )