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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Pour f = ⊗ v∈V f v , on a l’égalité
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
I
˜
L
v
˜
Mv
(γ v , ω, f v, ˜
L v ,ω ).
Comme en 1.9, on peut formaliser les définitions ci-dessus et en particulier
les rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour
γ ∈ D orb ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), ou f ∈
I( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )). Ces intégrales dépendent tout de même de la mesure
fixée sur A
˜
G
˜
M
.
Supposons V = V 1 V 2 . Pour i = 1, 2, soient γ i ∈ D orb ( ˜
M (F Vi ), ω) ⊗
Mes(M (F Vi ))
∗ et f i ∈ I( ˜
G(F Vi ), ω) ⊗ Mes(G(F Vi )). Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et
f = f 1 ⊗ f 2 . On a la formule de scindage
(2)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L1, ˜
L2∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )I
˜
L1
˜
M
(γ 1 , f 1, ˜
L1,ω )I
˜
L2
˜
M
(γ 2 , f 2, ˜
L2,ω ).
Conformément aux résultats de [V], on peut définir le terme I
˜
G
˜
M
(γ, f ) dans le
cas où γ appartient à D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F V ), ω)⊗Mes(M (F V ))
∗ : on le définit par la
formule (1). Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, ou si l’on suppose
vérifiée l’hypothèse (Hyp) de [V] 2.5 en toute place archimédienne de V , on peut
aussi le définir dans le cas où γ appartient à D tr-orb ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
Les propriétés ci-dessus s’étendent à tous les cas où les termes sont définis.
VI.1.12 Une propriété de support
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F contenant V ram .
Lemme. Soit Ξ ⊂ A ˜
M un ensemble compact et soit f ∈ C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )). Alors
il existe un sous-ensemble compact ˜
C V de ˜
M (F V ) tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F V )
vérifiant les deux conditions :
– ˜
H ˜
MV (γ) ∈ Ξ,
– I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0,
γ soit conjugué à un élément de ˜
C V par un élément de M (F V ).
Preuve. On choisit une fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ) qui vaut 1 sur la projection de Ξ dans
A ˜
G . On a alors l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f (b ◦ ˜
H ˜
GV )) pour tout γ ∈ ˜
M (F V )
tel que ˜
H ˜
MV (γ) ∈ Ξ. Cela nous permet de remplacer f par f (b◦ ˜
H ˜
GV ). En oubliant
cela, on peut supposer f à support compact. On utilise la définition donnée en
1.9. Pour que I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) soit non nul, il faut que J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) soit non nul ou
qu’il existe ˜
L ∈ L( ˜
M ) avec ˜
L = ˜
G tel que I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )) soit non nul. Dans le
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Pour f = ⊗ v∈V f v , on a l’égalité
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
I
˜
L
v
˜
Mv
(γ v , ω, f v, ˜
L v ,ω ).
Comme en 1.9, on peut formaliser les définitions ci-dessus et en particulier
les rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour
γ ∈ D orb ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), ou f ∈
I( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )). Ces intégrales dépendent tout de même de la mesure
fixée sur A
˜
G
˜
M
.
Supposons V = V 1 V 2 . Pour i = 1, 2, soient γ i ∈ D orb ( ˜
M (F Vi ), ω) ⊗
Mes(M (F Vi ))
∗ et f i ∈ I( ˜
G(F Vi ), ω) ⊗ Mes(G(F Vi )). Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et
f = f 1 ⊗ f 2 . On a la formule de scindage
(2)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L1, ˜
L2∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )I
˜
L1
˜
M
(γ 1 , f 1, ˜
L1,ω )I
˜
L2
˜
M
(γ 2 , f 2, ˜
L2,ω ).
Conformément aux résultats de [V], on peut définir le terme I
˜
G
˜
M
(γ, f ) dans le
cas où γ appartient à D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F V ), ω)⊗Mes(M (F V ))
∗ : on le définit par la
formule (1). Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, ou si l’on suppose
vérifiée l’hypothèse (Hyp) de [V] 2.5 en toute place archimédienne de V , on peut
aussi le définir dans le cas où γ appartient à D tr-orb ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
Les propriétés ci-dessus s’étendent à tous les cas où les termes sont définis.
VI.1.12 Une propriété de support
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F contenant V ram .
Lemme. Soit Ξ ⊂ A ˜
M un ensemble compact et soit f ∈ C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )). Alors
il existe un sous-ensemble compact ˜
C V de ˜
M (F V ) tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F V )
vérifiant les deux conditions :
– ˜
H ˜
MV (γ) ∈ Ξ,
– I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0,
γ soit conjugué à un élément de ˜
C V par un élément de M (F V ).
Preuve. On choisit une fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ) qui vaut 1 sur la projection de Ξ dans
A ˜
G . On a alors l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f (b ◦ ˜
H ˜
GV )) pour tout γ ∈ ˜
M (F V )
tel que ˜
H ˜
MV (γ) ∈ Ξ. Cela nous permet de remplacer f par f (b◦ ˜
H ˜
GV ). En oubliant
cela, on peut supposer f à support compact. On utilise la définition donnée en
1.9. Pour que I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) soit non nul, il faut que J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) soit non nul ou
qu’il existe ˜
L ∈ L( ˜
M ) avec ˜
L = ˜
G tel que I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )) soit non nul. Dans le