VI.1. Les définitions
605
A ces conditions, on dit que les fonctions B Ω forment un «système de fonctions B» sur ˜
G. Fixons un tel système. Il convient d’élargir l’ensemble V ram de 1.1
de sorte que
(3) soit v ∈ Val(F )− V ram , notons p la caractéristique résiduelle de v ; alors, pour
tout élément Ω ∈ Ω, les valeurs de B Ω sont premières à p.
C’est possible puisque l’ensemble Ω est fini.
Soit η ∈ ˜
T
∗ ( ¯
F ). Il existe un unique Ω ∈ Ω tel que η ∈ Ω( ¯
F ). On pose B η =
B Ω . Plus généralement, pour un élément semi-simple η ∈ ˜
G( ¯
F ), fixons une paire
de Borel (B, T ) de G conservée par ad η . On définit comme ci-dessus le système
de racines Σ
Gη (T ). On fixe un élément x ∈ G( ¯
F ) tel que ad x (B, T ) = (B
∗ , T
∗ ).
Alors ad x identifie Σ
Gη (T ) à Σ
G ad x (η) (T
∗ ). En transportant la fonction B adx(η)
par cet isomorphisme, on obtient une fonction B η sur Σ
Gη (T ), qui ne dépend pas
de l’élément x choisi.
Soit v une place de F et soit η un élément semi-simple de ˜
G( ¯
F v ). Le même
procédé permet de définir une fonction B η sur le système de racines de G η . La
restriction de ces fonctions aux éléments η ∈ ˜
G(F v ) est un système de fonctions B
sur ˜
G(F v ), au sens de [II] 1.9.
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, V un ensemble fini de places de F et
γ = (γ v ) v∈V ∈ ˜
M (F V ). Pour v ∈ V , on a défini en [II] 1.9 des ( ˜
G v , ˜
M v )-familles
(r ˜
P (γ v , a v , B; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
Mv ) . En utilisant ces familles dans les constructions du paragraphe précédent, on définit l’intégale orbitale pondérée J
˜
G
˜
M
(γ, B, f ). Elle coïncide
avec J
˜
G
˜
M
(γ, f ) dans le cas où M γ = G γ .
VI.1.11 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Soit γ ∈ ˜
M (F V ). On
fixe encore des mesures de Haar sur G(F V ) et M γ (F V ). Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), on
définit l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante par la formule de récurrence
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )).
Remarque. Comme souvent, certaines propriétés de ces termes sont supposées
connues pour les données (G
, ˜
G
, a
) similaires à (G, ˜
G, a) telles que dim(G
SC ) <
dim(G SC ). Les propriétés utilisées ici est que I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) ne dépend que de l’image
de f dans I( ˜
G(F V ), ω) et que la définition s’étend à f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F V )). Grâce à ces
hypothèses, les termes I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )) sont bien définis pour ˜
L = ˜
G. La formule
(1) ci-dessous, qui se déduit de la simple formule de définition ci-dessus, ramène la
vérification des hypothèses de récurrence aux propriétés des intégrales analogues
locales, pour lesquelles on renvoie à [II] et [V].
605
A ces conditions, on dit que les fonctions B Ω forment un «système de fonctions B» sur ˜
G. Fixons un tel système. Il convient d’élargir l’ensemble V ram de 1.1
de sorte que
(3) soit v ∈ Val(F )− V ram , notons p la caractéristique résiduelle de v ; alors, pour
tout élément Ω ∈ Ω, les valeurs de B Ω sont premières à p.
C’est possible puisque l’ensemble Ω est fini.
Soit η ∈ ˜
T
∗ ( ¯
F ). Il existe un unique Ω ∈ Ω tel que η ∈ Ω( ¯
F ). On pose B η =
B Ω . Plus généralement, pour un élément semi-simple η ∈ ˜
G( ¯
F ), fixons une paire
de Borel (B, T ) de G conservée par ad η . On définit comme ci-dessus le système
de racines Σ
Gη (T ). On fixe un élément x ∈ G( ¯
F ) tel que ad x (B, T ) = (B
∗ , T
∗ ).
Alors ad x identifie Σ
Gη (T ) à Σ
G ad x (η) (T
∗ ). En transportant la fonction B adx(η)
par cet isomorphisme, on obtient une fonction B η sur Σ
Gη (T ), qui ne dépend pas
de l’élément x choisi.
Soit v une place de F et soit η un élément semi-simple de ˜
G( ¯
F v ). Le même
procédé permet de définir une fonction B η sur le système de racines de G η . La
restriction de ces fonctions aux éléments η ∈ ˜
G(F v ) est un système de fonctions B
sur ˜
G(F v ), au sens de [II] 1.9.
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, V un ensemble fini de places de F et
γ = (γ v ) v∈V ∈ ˜
M (F V ). Pour v ∈ V , on a défini en [II] 1.9 des ( ˜
G v , ˜
M v )-familles
(r ˜
P (γ v , a v , B; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
Mv ) . En utilisant ces familles dans les constructions du paragraphe précédent, on définit l’intégale orbitale pondérée J
˜
G
˜
M
(γ, B, f ). Elle coïncide
avec J
˜
G
˜
M
(γ, f ) dans le cas où M γ = G γ .
VI.1.11 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Soit γ ∈ ˜
M (F V ). On
fixe encore des mesures de Haar sur G(F V ) et M γ (F V ). Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), on
définit l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante par la formule de récurrence
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )).
Remarque. Comme souvent, certaines propriétés de ces termes sont supposées
connues pour les données (G
, ˜
G
, a
) similaires à (G, ˜
G, a) telles que dim(G
SC ) <
dim(G SC ). Les propriétés utilisées ici est que I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) ne dépend que de l’image
de f dans I( ˜
G(F V ), ω) et que la définition s’étend à f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F V )). Grâce à ces
hypothèses, les termes I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )) sont bien définis pour ˜
L = ˜
G. La formule
(1) ci-dessous, qui se déduit de la simple formule de définition ci-dessus, ramène la
vérification des hypothèses de récurrence aux propriétés des intégrales analogues
locales, pour lesquelles on renvoie à [II] et [V].