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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
D orb ( ˜
M (F V ), ω)⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V ))⊗ Mes(G(F V )). Signalons que
ces intégrales dépendent tout de même de la mesure fixée sur A
˜
G
˜
M
.
On aura besoin d’une variante de la formule (1). Supposons V réunion disjointe de deux sous-ensembles V 1 et V 2 . Pour i = 1, 2, soient
γ i ∈ D orb ( ˜
M (F Vi ), ω) ⊗ Mes(M (F Vi )) et f i ∈ C
∞
c ( ˜
G(F Vi )) ⊗ Mes(G(F Vi )).
Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et f = f 1 ⊗ f 2 . Supposons que, pour tout ˜
Q = ˜
L ˜
U Q ∈
F ( ˜
M ), l’intégrale orbitale pondérée J
˜
L
˜
M
(γ 1 , f 1, ˜
Q,ω ) ne dépende que de ˜
L. On a
alors l’égalité
(2)
J
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
J
˜
L
˜
M
(γ 1 , f 1, ˜
Q,ω )J
˜
G
˜
L
(γ
˜
L
2 , f 2 ),
où ˜
Q est un élément quelconque de P( ˜
L) et où γ
˜
L
2 est l’induite de γ 2 à ˜
L(F V2 ).
VI.1.10 Système de fonctions B
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Rappelons que dans ce
cas, on supprime le caractère trivial ω des notations. Pour une place v de F , on
a défini en [II] 1.9 la notion de système de fonctions B sur ˜
G(F v ). Pour globaliser
cette notion, on va en donner une définition un peu différente. Fixons une paire
de Borel (B
∗ , T
∗ ) de G définie sur F . Notons ˜
T
∗ l’ensemble des γ ∈ ˜
G tels que
ad γ conserve cette paire. Pour η ∈ ˜
T
∗ , notons Σ
Gη (T
∗ ) l’ensemble des racines de
T
∗ dans g η . L’ensemble Σ
Gη (T
∗ ) est un sous-ensemble de l’ensemble Σ(T
∗ ) des
racines de T
∗ dans g. Pour tout sous-ensemble Σ
⊂ Σ(T
∗ ), considérons l’ensemble
des η ∈ ˜
T
∗ tels que Σ
Gη (T
∗ ) = Σ
. C’est un sous-ensemble algébrique de ˜
T
∗
que l’on décompose en composantes connexes. En faisant varier Σ
, on obtient
une décomposition de ˜
T
∗ en réunion disjointe finie de sous-ensembles algébriques
connexes. On note Ω cet ensemble de sous-ensembles algébriques. Pour Ω ∈ Ω, on
note Σ(Ω) l’ensemble Σ
Gη (T
∗ ) pour un élément quelconque η ∈ Ω. Le groupe de
Weyl W agit sur ˜
T
∗ . Pour w ∈ W et η ∈ ˜
T
∗ , l’élément w définit une bijection
w : Σ
Gη (T
∗ ) → Σ
G w(η) (T
∗ ). Le groupe de Galois Γ F agit aussi et, pour σ ∈ Γ F et
η ∈ ˜
T
∗ , on a aussi une bijection σ : Σ
Gη (T
∗ ) → Σ
G σ(η) (T
∗ ). Il en résulte que les
actions de W et Γ F sur ˜
T
∗ permutent les éléments de Ω.
On se donne pour tout Ω ∈ Ω une fonction B Ω : Σ(Ω) → Q >0 . On suppose
vérifiées les conditions (1) et (2) suivantes pour tout Ω ∈ Ω :
(1) pour toute composante irréductible Σ
du système de racines Σ(Ω), ou bien
B Ω est constante sur Σ
, ou bien la fonction β →
BΩ(β)
(β,β) est constante sur Σ
,
où (., .) est une forme quadratique définie positive et invariante par le groupe
de Weyl sur l’espace X
∗ (T
∗ ) ⊗ Z R ;
(2) pour w ∈ W , σ ∈ Γ F et β ∈ Σ(Ω), on a les égalités B w(Ω) (w(β)) =
B σ(Ω) (σ(β)) = B Ω (β).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
D orb ( ˜
M (F V ), ω)⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V ))⊗ Mes(G(F V )). Signalons que
ces intégrales dépendent tout de même de la mesure fixée sur A
˜
G
˜
M
.
On aura besoin d’une variante de la formule (1). Supposons V réunion disjointe de deux sous-ensembles V 1 et V 2 . Pour i = 1, 2, soient
γ i ∈ D orb ( ˜
M (F Vi ), ω) ⊗ Mes(M (F Vi )) et f i ∈ C
∞
c ( ˜
G(F Vi )) ⊗ Mes(G(F Vi )).
Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et f = f 1 ⊗ f 2 . Supposons que, pour tout ˜
Q = ˜
L ˜
U Q ∈
F ( ˜
M ), l’intégrale orbitale pondérée J
˜
L
˜
M
(γ 1 , f 1, ˜
Q,ω ) ne dépende que de ˜
L. On a
alors l’égalité
(2)
J
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
J
˜
L
˜
M
(γ 1 , f 1, ˜
Q,ω )J
˜
G
˜
L
(γ
˜
L
2 , f 2 ),
où ˜
Q est un élément quelconque de P( ˜
L) et où γ
˜
L
2 est l’induite de γ 2 à ˜
L(F V2 ).
VI.1.10 Système de fonctions B
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Rappelons que dans ce
cas, on supprime le caractère trivial ω des notations. Pour une place v de F , on
a défini en [II] 1.9 la notion de système de fonctions B sur ˜
G(F v ). Pour globaliser
cette notion, on va en donner une définition un peu différente. Fixons une paire
de Borel (B
∗ , T
∗ ) de G définie sur F . Notons ˜
T
∗ l’ensemble des γ ∈ ˜
G tels que
ad γ conserve cette paire. Pour η ∈ ˜
T
∗ , notons Σ
Gη (T
∗ ) l’ensemble des racines de
T
∗ dans g η . L’ensemble Σ
Gη (T
∗ ) est un sous-ensemble de l’ensemble Σ(T
∗ ) des
racines de T
∗ dans g. Pour tout sous-ensemble Σ
⊂ Σ(T
∗ ), considérons l’ensemble
des η ∈ ˜
T
∗ tels que Σ
Gη (T
∗ ) = Σ
. C’est un sous-ensemble algébrique de ˜
T
∗
que l’on décompose en composantes connexes. En faisant varier Σ
, on obtient
une décomposition de ˜
T
∗ en réunion disjointe finie de sous-ensembles algébriques
connexes. On note Ω cet ensemble de sous-ensembles algébriques. Pour Ω ∈ Ω, on
note Σ(Ω) l’ensemble Σ
Gη (T
∗ ) pour un élément quelconque η ∈ Ω. Le groupe de
Weyl W agit sur ˜
T
∗ . Pour w ∈ W et η ∈ ˜
T
∗ , l’élément w définit une bijection
w : Σ
Gη (T
∗ ) → Σ
G w(η) (T
∗ ). Le groupe de Galois Γ F agit aussi et, pour σ ∈ Γ F et
η ∈ ˜
T
∗ , on a aussi une bijection σ : Σ
Gη (T
∗ ) → Σ
G σ(η) (T
∗ ). Il en résulte que les
actions de W et Γ F sur ˜
T
∗ permutent les éléments de Ω.
On se donne pour tout Ω ∈ Ω une fonction B Ω : Σ(Ω) → Q >0 . On suppose
vérifiées les conditions (1) et (2) suivantes pour tout Ω ∈ Ω :
(1) pour toute composante irréductible Σ
du système de racines Σ(Ω), ou bien
B Ω est constante sur Σ
, ou bien la fonction β →
BΩ(β)
(β,β) est constante sur Σ
,
où (., .) est une forme quadratique définie positive et invariante par le groupe
de Weyl sur l’espace X
∗ (T
∗ ) ⊗ Z R ;
(2) pour w ∈ W , σ ∈ Γ F et β ∈ Σ(Ω), on a les égalités B w(Ω) (w(β)) =
B σ(Ω) (σ(β)) = B Ω (β).