VI.1. Les définitions
603
Z M (γ) etc. . . Si ω n’est pas trivial sur M γ (F V ), on pose J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 pour
tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )). Supposons dans la suite que ω est trivial sur M γ (F V ). On
fixe des mesures de Haar sur G(F V ) et M γ (F V ). Supposons d’abord que γ soit
˜
G-équisingulier, c’est-à-dire que M γ = G γ . Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), on pose
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Mγ (FV )\G(FV )
ω(g)f (g
−1 γg)v ˜
M (g) dg.
Pour γ quelconque, Arthur définit J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) par un procédé de limite. Nous
allons le rappeler brièvement, tout en le modifiant. Soit v ∈ V et a v ∈ A ˜
Mv (F v ).
On a défini en [II] 1.5 une ( ˜
G v , ˜
M v )-famille (r ˜
P (γ v , a v ; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
Mv) , pourvu que
a v soit en position générale. Plus précisément, notons η v la partie semi-simple de
γ v . Il suffit que a v vérifie α(a v ) = ±1 pour toute racine α de A Mv,η v dans G v,ηv
pour que les fonctions précédentes soient définies. Signalons que la définition de
ces fonctions est légèrement différente de celle d’Arthur. Soit maintenant a =
(a v ) v∈V ∈ A ˜
M (F V ). Si a est en position générale, les a v ne sont pas véritablement
«en position générale» car le tore A Mv ,ηv est en général plus gros que le localisé
de A ˜
M , mais ils vérifient la condition précise ci-dessus. Comme en 1.3, on déduit
alors des ( ˜
G v , ˜
M v )-familles ci-dessus une famille produit (r ˜
P (γ, a; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M ) . On
en déduit une fonction r
˜
G
˜
M
(γ, a; Λ) et on pose r
˜
G
˜
M
(γ, a) = r
˜
G
˜
M
(γ, a; 0). Considérons
l’expression
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f).
Tous les termes sont bien définis puisque M aγ = G aγ pour a en position générale.
Arthur montre que cette expression a une limite quand a tend vers 1 ([9] théorème 5.2). La modification que l’on a apportée aux définitions n’affecte pas cette
propriété. On note J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) cette limite.
Remarque. La définition est globale : les ( ˜
G, ˜
M )-familles intervenant sont indexées
par des espaces paraboliques définis sur F . Même dans le cas où V est réduit à
une seule place v, les intégrales orbitales pondérées ci-dessus ne coïncident pas en
général avec leurs similaires locales relatives au corps de base F v . La relation entre
les deux objets est donnée par la formule (1) suivante. La même remarque s’appliquera aux intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes définies au paragraphe
suivant.
En utilisant plusieurs fois la formule 1.4(1), on montre que, pour f = ⊗ v∈V f v ,
on a l’égalité
(1)
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(γ v , ω, f v, ˜
Q v ,ω ).
Comme dans le cas local, on peut formaliser les définitions ci-dessus et les
rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant J
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈
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Z M (γ) etc. . . Si ω n’est pas trivial sur M γ (F V ), on pose J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 pour
tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )). Supposons dans la suite que ω est trivial sur M γ (F V ). On
fixe des mesures de Haar sur G(F V ) et M γ (F V ). Supposons d’abord que γ soit
˜
G-équisingulier, c’est-à-dire que M γ = G γ . Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), on pose
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Mγ (FV )\G(FV )
ω(g)f (g
−1 γg)v ˜
M (g) dg.
Pour γ quelconque, Arthur définit J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) par un procédé de limite. Nous
allons le rappeler brièvement, tout en le modifiant. Soit v ∈ V et a v ∈ A ˜
Mv (F v ).
On a défini en [II] 1.5 une ( ˜
G v , ˜
M v )-famille (r ˜
P (γ v , a v ; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
Mv) , pourvu que
a v soit en position générale. Plus précisément, notons η v la partie semi-simple de
γ v . Il suffit que a v vérifie α(a v ) = ±1 pour toute racine α de A Mv,η v dans G v,ηv
pour que les fonctions précédentes soient définies. Signalons que la définition de
ces fonctions est légèrement différente de celle d’Arthur. Soit maintenant a =
(a v ) v∈V ∈ A ˜
M (F V ). Si a est en position générale, les a v ne sont pas véritablement
«en position générale» car le tore A Mv ,ηv est en général plus gros que le localisé
de A ˜
M , mais ils vérifient la condition précise ci-dessus. Comme en 1.3, on déduit
alors des ( ˜
G v , ˜
M v )-familles ci-dessus une famille produit (r ˜
P (γ, a; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M ) . On
en déduit une fonction r
˜
G
˜
M
(γ, a; Λ) et on pose r
˜
G
˜
M
(γ, a) = r
˜
G
˜
M
(γ, a; 0). Considérons
l’expression
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f).
Tous les termes sont bien définis puisque M aγ = G aγ pour a en position générale.
Arthur montre que cette expression a une limite quand a tend vers 1 ([9] théorème 5.2). La modification que l’on a apportée aux définitions n’affecte pas cette
propriété. On note J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) cette limite.
Remarque. La définition est globale : les ( ˜
G, ˜
M )-familles intervenant sont indexées
par des espaces paraboliques définis sur F . Même dans le cas où V est réduit à
une seule place v, les intégrales orbitales pondérées ci-dessus ne coïncident pas en
général avec leurs similaires locales relatives au corps de base F v . La relation entre
les deux objets est donnée par la formule (1) suivante. La même remarque s’appliquera aux intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes définies au paragraphe
suivant.
En utilisant plusieurs fois la formule 1.4(1), on montre que, pour f = ⊗ v∈V f v ,
on a l’égalité
(1)
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(γ v , ω, f v, ˜
Q v ,ω ).
Comme dans le cas local, on peut formaliser les définitions ci-dessus et les
rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant J
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈