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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
encore que la somme de A ˜
L V et de l’orthogonal du noyau de p V soit l’espace A ˜
MV
tout entier. Cela résulte de la condition d
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V ) = 0 puisque l’orthogonal du
noyau de p V est l’espace A ˜
M plongé diagonalement dans A ˜
MV .
On a la variante suivante :
φ ˜
M envoie C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V ), K) dans I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω, K).
VI.1.8 Espaces de distributions
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et V un ensemble fini de places de F . Pour
tout v ∈ V , on a défini l’espace de distributions D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) en [I] 5.1 et
5.2. C’est celui des distributions ω-équivariantes supportées par un nombre fini de
classes de conjugaison. Supposons v archimédienne. On a défini en [V] 1.3 et 2.1
les sous-espaces
D orb ( ˜
M (F v ), ω) ⊂ D tr-orb ( ˜
M (F v ), ω)
⊂ D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) ⊃ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F v ), ω).
L’espace D orb ( ˜
M (F v ), ω) est engendré par les intégrales orbitales ordinaires (ωéquivariantes). L’espace D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F v ), ω) est le sous-espace des éléments
de D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) dont le support est formé d’éléments γ ∈ ˜
M (F v ) qui sont
˜
G-équisinguliers c’est-à-dire tels que M γ = G γ . L’espace D tr-orb ( ˜
M (F v ), ω) est
défini par récurrence. Il est engendré par D orb ( ˜
M (F v ), ω) et par les images par
transfert des espaces D tr-orb (M
v ) pour les données endoscopiques elliptiques M
v
de (M v , ˜
M v ), avec la restriction M
v = M v si (M v , ˜
M v , a v ) est quasi-déployé et à
torsion intérieure.
Remarque. Si on applique les mêmes définitions pour une place v non-archimédienne, on a l’égalité D orb ( ˜
M (F v ), ω) = D tr-orb ( ˜
M (F v ), ω) = D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω).
On pose D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) = ⊗ v∈V D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω). On définit les sousespaces D orb ( ˜
M (F V ), ω), D tr-orb ( ˜
M (F V ), ω) et D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F V ), ω) en remplaçant, pour toute place archimédienne v ∈ V , l’espace D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) par
D orb ( ˜
M (F v ), ω) etc. . .
VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Pour tout g = (g v ) v∈V ∈
G(F V ), Arthur définit une ( ˜
G, ˜
M )-famille (v ˜
P (g; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) , d’où une fonction
v
˜
G
˜
M
(g; Λ). On pose v
˜
G
˜
M
(g) = v
˜
G
˜
M
(g, 0).
Soit γ = (γ v ) v∈V ∈ ˜
M (F V ). On pose M γ =
v∈V M v,γv que l’on peut
considérer comme un groupe défini sur l’anneau F V . On définit de même G γ ,
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
encore que la somme de A ˜
L V et de l’orthogonal du noyau de p V soit l’espace A ˜
MV
tout entier. Cela résulte de la condition d
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V ) = 0 puisque l’orthogonal du
noyau de p V est l’espace A ˜
M plongé diagonalement dans A ˜
MV .
On a la variante suivante :
φ ˜
M envoie C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V ), K) dans I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω, K).
VI.1.8 Espaces de distributions
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et V un ensemble fini de places de F . Pour
tout v ∈ V , on a défini l’espace de distributions D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) en [I] 5.1 et
5.2. C’est celui des distributions ω-équivariantes supportées par un nombre fini de
classes de conjugaison. Supposons v archimédienne. On a défini en [V] 1.3 et 2.1
les sous-espaces
D orb ( ˜
M (F v ), ω) ⊂ D tr-orb ( ˜
M (F v ), ω)
⊂ D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) ⊃ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F v ), ω).
L’espace D orb ( ˜
M (F v ), ω) est engendré par les intégrales orbitales ordinaires (ωéquivariantes). L’espace D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F v ), ω) est le sous-espace des éléments
de D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) dont le support est formé d’éléments γ ∈ ˜
M (F v ) qui sont
˜
G-équisinguliers c’est-à-dire tels que M γ = G γ . L’espace D tr-orb ( ˜
M (F v ), ω) est
défini par récurrence. Il est engendré par D orb ( ˜
M (F v ), ω) et par les images par
transfert des espaces D tr-orb (M
v ) pour les données endoscopiques elliptiques M
v
de (M v , ˜
M v ), avec la restriction M
v = M v si (M v , ˜
M v , a v ) est quasi-déployé et à
torsion intérieure.
Remarque. Si on applique les mêmes définitions pour une place v non-archimédienne, on a l’égalité D orb ( ˜
M (F v ), ω) = D tr-orb ( ˜
M (F v ), ω) = D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω).
On pose D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) = ⊗ v∈V D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω). On définit les sousespaces D orb ( ˜
M (F V ), ω), D tr-orb ( ˜
M (F V ), ω) et D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F V ), ω) en remplaçant, pour toute place archimédienne v ∈ V , l’espace D g´ eom ( ˜
M (F v ), ω) par
D orb ( ˜
M (F v ), ω) etc. . .
VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Pour tout g = (g v ) v∈V ∈
G(F V ), Arthur définit une ( ˜
G, ˜
M )-famille (v ˜
P (g; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) , d’où une fonction
v
˜
G
˜
M
(g; Λ). On pose v
˜
G
˜
M
(g) = v
˜
G
˜
M
(g, 0).
Soit γ = (γ v ) v∈V ∈ ˜
M (F V ). On pose M γ =
v∈V M v,γv que l’on peut
considérer comme un groupe défini sur l’anneau F V . On définit de même G γ ,