VI.1. Les définitions
601
VI.1.7 Une propriété globale de l’application φ ˜
M
La situation est la même que dans le paragraphe précédent, mais on suppose que
V contient V ram . On se rappelle l’application ˜
H ˜
GV : ˜
G(F V ) → A ˜
G de 1.1. L’espace
C
∞ (A ˜
G ) des fonctions C
∞ sur A ˜
G opère sur C
∞
c ( ˜
G(F V )) : à b ∈ C
∞ (A ˜
G ) et f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F V )), on associe la fonction produit f (b◦ ˜
H ˜
GV ). L’espace C
∞ (A ˜
G ) opère de
même sur C
∞
ac ( ˜
G(F V )). Ces actions se descendent en des actions sur I( ˜
G(F V ), ω)
et I ac ( ˜
G(F V ), ω). Notons C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) le sous-espace des f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F V )) tels
que f (b ◦ ˜
H ˜
GV ) ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) pour tout b ∈ C
∞
c (A ˜
G ). Notons I ac,glob ( ˜
G(F V ), ω)
l’image de cet espace dans I ac ( ˜
G(F V ), ω).
Lemme. L’homomorphisme φ ˜
M envoie C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) dans I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω).
Preuve. Soient f ∈ C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) et b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
M ). On doit montrer que
φ ˜
M (f )(b ◦ ˜
H ˜
MV ) appartient à I( ˜
M (F V ), ω). Soit b
∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G ) qui vaut 1 sur
la projection dans A ˜
G du support de b. Alors b ◦ ˜
H ˜
MV = (b ◦ ˜
H ˜
MV )(b
◦ ˜
H ˜
GV ). Il
résulte de la définition de φ ˜
M que φ ˜
M (f )(b
◦ ˜
H ˜
GV ) = φ ˜
M (f (b
◦ ˜
H ˜
GV )). D’où
φ ˜
M (f )(b ◦ ˜
H ˜
MV ) = φ ˜
M (f (b
◦ ˜
H ˜
GV ))(b ◦ ˜
H ˜
MV ).
Quitte à remplacer f par f (b
◦ ˜
H ˜
GV ), on est ramené au cas où f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )).
En considérant la formule (1) du paragraphe précédent, on voit qu’il nous suffit
de fixer ˜
L
V
∈ L( ˜
M V ) tel que d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0 et de prouver que la fonction
(1)
⊗ v∈V φ
˜
L
v
˜
Mv
(f v, ˜
Qv,ω )
(b ◦ ˜
H ˜
MV )
appartient à I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω). On relève chaque terme φ
˜
L
v
˜
Mv
(f v, ˜
Qv ,ω ) en un élément de C
∞
ac ( ˜
M (F v )). Notons Ξ v l’image de son support dans ˜
A ˜
Mv par l’application ˜
H ˜
Mv . Parce que f v est maintenant à support compact, on sait que l’on
peut supposer que la projection naturelle de Ξ v dans ˜
A ˜
L v est compacte. Notons
Ξ l’image du support de la fonction (1) dans ˜
A ˜
MV par l’application
v∈V
˜
H ˜
Mv .
Pour que la fonction (1) appartienne à I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω), il suffit que Ξ soit compact. Or Ξ est le sous-ensemble des éléments de
v∈V Ξ v dont l’image par ˜
p V
appartient au support compact de la fonction b. En fixant des points bases de
nos espaces affines, qui permettent d’identifier ˜
A ˜
MV à A ˜
MV , on est ramené à la
situation suivante. On a un sous-ensemble fermé Ξ ⊂ A ˜
MV dont la projection dans
A ˜
L V est compacte et dont l’image par l’application
p V :
A ˜
MV
→
A ˜
M
(H v ) v∈V →
v∈V H v, ˜
M
est compacte. On doit montrer que ce sous-ensemble est compact. Il suffit que
l’intersection des noyaux de p V et de la projection dans A ˜
L V soit réduite à 0. Ou
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VI.1.7 Une propriété globale de l’application φ ˜
M
La situation est la même que dans le paragraphe précédent, mais on suppose que
V contient V ram . On se rappelle l’application ˜
H ˜
GV : ˜
G(F V ) → A ˜
G de 1.1. L’espace
C
∞ (A ˜
G ) des fonctions C
∞ sur A ˜
G opère sur C
∞
c ( ˜
G(F V )) : à b ∈ C
∞ (A ˜
G ) et f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F V )), on associe la fonction produit f (b◦ ˜
H ˜
GV ). L’espace C
∞ (A ˜
G ) opère de
même sur C
∞
ac ( ˜
G(F V )). Ces actions se descendent en des actions sur I( ˜
G(F V ), ω)
et I ac ( ˜
G(F V ), ω). Notons C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) le sous-espace des f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F V )) tels
que f (b ◦ ˜
H ˜
GV ) ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) pour tout b ∈ C
∞
c (A ˜
G ). Notons I ac,glob ( ˜
G(F V ), ω)
l’image de cet espace dans I ac ( ˜
G(F V ), ω).
Lemme. L’homomorphisme φ ˜
M envoie C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) dans I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω).
Preuve. Soient f ∈ C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) et b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
M ). On doit montrer que
φ ˜
M (f )(b ◦ ˜
H ˜
MV ) appartient à I( ˜
M (F V ), ω). Soit b
∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G ) qui vaut 1 sur
la projection dans A ˜
G du support de b. Alors b ◦ ˜
H ˜
MV = (b ◦ ˜
H ˜
MV )(b
◦ ˜
H ˜
GV ). Il
résulte de la définition de φ ˜
M que φ ˜
M (f )(b
◦ ˜
H ˜
GV ) = φ ˜
M (f (b
◦ ˜
H ˜
GV )). D’où
φ ˜
M (f )(b ◦ ˜
H ˜
MV ) = φ ˜
M (f (b
◦ ˜
H ˜
GV ))(b ◦ ˜
H ˜
MV ).
Quitte à remplacer f par f (b
◦ ˜
H ˜
GV ), on est ramené au cas où f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )).
En considérant la formule (1) du paragraphe précédent, on voit qu’il nous suffit
de fixer ˜
L
V
∈ L( ˜
M V ) tel que d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0 et de prouver que la fonction
(1)
⊗ v∈V φ
˜
L
v
˜
Mv
(f v, ˜
Qv,ω )
(b ◦ ˜
H ˜
MV )
appartient à I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω). On relève chaque terme φ
˜
L
v
˜
Mv
(f v, ˜
Qv ,ω ) en un élément de C
∞
ac ( ˜
M (F v )). Notons Ξ v l’image de son support dans ˜
A ˜
Mv par l’application ˜
H ˜
Mv . Parce que f v est maintenant à support compact, on sait que l’on
peut supposer que la projection naturelle de Ξ v dans ˜
A ˜
L v est compacte. Notons
Ξ l’image du support de la fonction (1) dans ˜
A ˜
MV par l’application
v∈V
˜
H ˜
Mv .
Pour que la fonction (1) appartienne à I ac,glob ( ˜
M (F V ), ω), il suffit que Ξ soit compact. Or Ξ est le sous-ensemble des éléments de
v∈V Ξ v dont l’image par ˜
p V
appartient au support compact de la fonction b. En fixant des points bases de
nos espaces affines, qui permettent d’identifier ˜
A ˜
MV à A ˜
MV , on est ramené à la
situation suivante. On a un sous-ensemble fermé Ξ ⊂ A ˜
MV dont la projection dans
A ˜
L V est compacte et dont l’image par l’application
p V :
A ˜
MV
→
A ˜
M
(H v ) v∈V →
v∈V H v, ˜
M
est compacte. On doit montrer que ce sous-ensemble est compact. Il suffit que
l’intersection des noyaux de p V et de la projection dans A ˜
L V soit réduite à 0. Ou