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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
par
(2)
φ ˜
M (f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
⊗ v∈V φ
˜
L
v
˜
Mv
(f v, ˜
Q v ,ω )
pour une fonction f = ⊗ v∈V f v ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F V )).
Cette définition dépend a priori d’une donnée auxiliaire puisque les ˜
Q
v en
dépendent. Pour qu’elle soit loisible, on doit montrer qu’en fait, elle n’en dépend
pas. Pour cela, on utilise la caractérisation de [81] 6.4(5). Fixons pour tout v ∈ V
une ω-représentation tempérée M -irréductible ˜
π v de ˜
M (F v ). Fixons aussi X v ∈
˜
A ˜
Mv . On a défini une forme linéaire ϕ v → I
˜
Mv (˜ π v , X v , ϕ v ) sur I ac ( ˜
M (F v ), ω),
cf. [81] 6.4 et [V] 1.2. Quand ˜
π v et X v varient, ces formes linéaires séparent les
éléments de I ac ( ˜
M (F v ), ω). Il suffit donc de prouver que la valeur sur le membre
de droite de (2) de la forme linéaire
⊗ v∈V ϕ v →
v∈V
I
˜
Mv (˜ π v , X v , ϕ v )
est bien définie. Cette valeur est
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
I
˜
Mv (˜ π v , X v , φ
˜
L
v
˜
Mv
(f v, ˜
Q v ,ω )),
ou encore
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v , X v , f v, ˜
Q v ,ω ).
Par définition, on a pour tout v ∈ V une égalité
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v , X v , f v, ˜
Q v ,ω ) = c v
iA ∗
˜
Mv ,Fv
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v, ˜
λv , f v, ˜
Q v ,ω )e
− ˜
λv ,Xv dλ v
(les deux fonctions que l’on intègre dépendent de ˜
λ v ∈ i ˜
A ˜
Mv ; leur produit se
descend en une fonction sur iA
∗
˜
Mv ,Fv
; c v est une constante dépendant seulement
des mesures de Haar). Il suffit donc de prouver que, pour toute famille ( ˜
λ v ) v∈V ∈
⊕i ˜
A
∗
˜
Mv
, le terme
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v, ˜
λv , f v, ˜
Q v ,ω )
est bien défini. Quitte à remplacer ˜
π v par ˜
π v, ˜
λv , il suffit de considérer
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v , f v, ˜
Q v ,ω ).
La formule 1.5(1) dit que cette expression est égale à J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ), où ˜
π = ⊗ v∈V ˜
π v .
Ce terme ne dépendant d’aucun paramètre auxiliaire, cela démontre l’assertion.