VI.1. Les définitions
599
affine sous A ˜
M . On note encore ˜
A
∗
˜
M
l’espace des fonctions affines sur cet espace,
et ˜
A
∗
˜
M,C
son complexifié. Pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
, on note λ ∈ A
∗
˜
M,C
la forme linéaire sousjacente à ˜
λ. Pour ˜
π quelconque et pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
en position générale, ˜
π ˜
λ est en
position générale et l’opérateur M
˜
G
˜
M
(π λ ) comme la forme linéaire f → J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ , f)
sont bien définis. Ces termes sont méromorphes en ˜
λ. S’ils sont réguliers en ˜
λ = 0,
on note M
˜
G
˜
M
(π) et f → J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) leurs valeurs en ˜
λ = 0.
Proposition. Si ˜
π est unitaire, les termes ci-dessus sont réguliers en ˜
λ = 0.
Preuve. La formule (1) nous ramène au cas local, qui est traité par Arthur ([14],
proposition 2.3).
Evidemment, la formule (1) s’étend au cas où tous les termes de la formule
sont définis.
VI.1.6 L’application φ ˜
M
Pour toute place v ∈ Val f (F ), on note C
∞
ac ( ˜
G(F v )) l’espace des fonctions f :
˜
G(F v ) → C telles que :
(1) pour toute fonction b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G ), la fonction γ → b( ˜
H ˜
Gv (γ))f (γ) appartient
à C
∞
c ( ˜
G(F v )) ;
– il existe un sous-groupe ouvert compact H de G(F v ) tel que f soit
biinvariante par H.
Pour toute place v ∈ Val ∞ (F ), on note C
∞
ac ( ˜
G(F v )) l’espace des fonctions
f : ˜
G(F v ) → C qui vérifient (1). On note C
∞
ac ( ˜
G(F v ), K v ) le sous-espace des
éléments K v -finis à droite et à gauche de C
∞
ac ( ˜
G(F v )).
On note I ac ( ˜
G(F v ), ω) le quotient de C
∞
ac ( ˜
G(F v )) par le sous-espace des
f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F v )) telles que I
˜
Gv (γ, ω, f ) = 0 pour tout élément γ ∈ ˜
G reg (F v )
(on rappelle que l’on note ainsi l’ensemble des éléments semi-simples et fortement réguliers de ˜
G(F v )). Si v est archimédienne, on définit de même la variante
I ac ( ˜
G(F v ), ω, K v ).
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et V un ensemble fini de places de F . Pour
v ∈ V , on définit une application linéaire φ ˜
Mv : C
∞
ac ( ˜
G(F v )) → I ac ( ˜
M (F v ), ω).
Elle est définie en [81] 6.4 dans le cas où v est non-archimédienne, en [V] 1.2
dans le cas où v est archimédienne. Dans ce dernier cas, l’application se restreint
en une application linéaire C
∞
ac ( ˜
G(F v ), K v ) → I ac ( ˜
M (F v ), ω, K v ), cf. [81] 6.4. On
definit comme en 1.1 les espaces C
∞
ac ( ˜
G(F V )) et I ac ( ˜
G(F V ), ω) (avec la variante
I ac ( ˜
G(F V ), ω, K) si V contient des places archimédiennes). Comme dans le paragraphe précédent, on applique les définitions du paragraphe 1.2 à la famille
˜
M V = ( ˜
M v ) v∈V . On définit une application φ ˜
M : C
∞
ac ( ˜
G(F V )) → I ac ( ˜
M (F V ), ω)
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affine sous A ˜
M . On note encore ˜
A
∗
˜
M
l’espace des fonctions affines sur cet espace,
et ˜
A
∗
˜
M,C
son complexifié. Pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
, on note λ ∈ A
∗
˜
M,C
la forme linéaire sousjacente à ˜
λ. Pour ˜
π quelconque et pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
en position générale, ˜
π ˜
λ est en
position générale et l’opérateur M
˜
G
˜
M
(π λ ) comme la forme linéaire f → J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ , f)
sont bien définis. Ces termes sont méromorphes en ˜
λ. S’ils sont réguliers en ˜
λ = 0,
on note M
˜
G
˜
M
(π) et f → J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) leurs valeurs en ˜
λ = 0.
Proposition. Si ˜
π est unitaire, les termes ci-dessus sont réguliers en ˜
λ = 0.
Preuve. La formule (1) nous ramène au cas local, qui est traité par Arthur ([14],
proposition 2.3).
Evidemment, la formule (1) s’étend au cas où tous les termes de la formule
sont définis.
VI.1.6 L’application φ ˜
M
Pour toute place v ∈ Val f (F ), on note C
∞
ac ( ˜
G(F v )) l’espace des fonctions f :
˜
G(F v ) → C telles que :
(1) pour toute fonction b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G ), la fonction γ → b( ˜
H ˜
Gv (γ))f (γ) appartient
à C
∞
c ( ˜
G(F v )) ;
– il existe un sous-groupe ouvert compact H de G(F v ) tel que f soit
biinvariante par H.
Pour toute place v ∈ Val ∞ (F ), on note C
∞
ac ( ˜
G(F v )) l’espace des fonctions
f : ˜
G(F v ) → C qui vérifient (1). On note C
∞
ac ( ˜
G(F v ), K v ) le sous-espace des
éléments K v -finis à droite et à gauche de C
∞
ac ( ˜
G(F v )).
On note I ac ( ˜
G(F v ), ω) le quotient de C
∞
ac ( ˜
G(F v )) par le sous-espace des
f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F v )) telles que I
˜
Gv (γ, ω, f ) = 0 pour tout élément γ ∈ ˜
G reg (F v )
(on rappelle que l’on note ainsi l’ensemble des éléments semi-simples et fortement réguliers de ˜
G(F v )). Si v est archimédienne, on définit de même la variante
I ac ( ˜
G(F v ), ω, K v ).
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et V un ensemble fini de places de F . Pour
v ∈ V , on définit une application linéaire φ ˜
Mv : C
∞
ac ( ˜
G(F v )) → I ac ( ˜
M (F v ), ω).
Elle est définie en [81] 6.4 dans le cas où v est non-archimédienne, en [V] 1.2
dans le cas où v est archimédienne. Dans ce dernier cas, l’application se restreint
en une application linéaire C
∞
ac ( ˜
G(F v ), K v ) → I ac ( ˜
M (F v ), ω, K v ), cf. [81] 6.4. On
definit comme en 1.1 les espaces C
∞
ac ( ˜
G(F V )) et I ac ( ˜
G(F V ), ω) (avec la variante
I ac ( ˜
G(F V ), ω, K) si V contient des places archimédiennes). Comme dans le paragraphe précédent, on applique les définitions du paragraphe 1.2 à la famille
˜
M V = ( ˜
M v ) v∈V . On définit une application φ ˜
M : C
∞
ac ( ˜
G(F V )) → I ac ( ˜
M (F V ), ω)