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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.1.5 Caractères pondérés
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Rappelons que, pour une
place v ∈ Val(F ), on a défini en [81] 2.5 la notion de ω-représentation de ˜
G(F v ).
A toute telle ω-représentation ˜
π est associée une représentation sous-jacente π de
G(F v ). On note ˜
A
∗
˜
Gv
l’espace des applications affines ˜
λ : ˜
A ˜
Gv → R. A tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
Gv
est associée une forme linéaire λ sur A ˜
Gv . Si ˜
π est une ω-représentation de ˜
G(F v )
et ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
Gv
, on définit la ω-représentation ˜
π ˜
λ par ˜
π ˜
λ (γ) = e ˜
λ, ˜
H ˜
Gv (γ) ˜
π(γ), où on
note
˜
λ, ˜
H ˜
Gv (γ)
l’évaluation de ˜
λ au point ˜
H ˜
Gv (γ). Pour une ω-représentation
˜
π admissible et de longueur finie de ˜
M (F v ), on a défini, à la suite d’Arthur, le
caractère pondéré f → J
˜
Gv
˜
Mv
(˜ π, f ). Dans la suite de ce paragraphe, on va globaliser
cette définition.
Pour tout v ∈ V , soit ˜
π v une ω-représentation de ˜
M (F v ), admissible et de
longueur finie. Posons ˜
π V = ⊗ v∈V ˜
π v . Fixons ˜
P ∈ P( ˜
M ), introduisons la représentation induite Ind
˜
G
˜
P
(˜ π) de ˜
G(F V ), que l’on réalise dans son espace habituel que
l’on note V π,P . Supposons dans un premier temps que ˜
π est en position générale
de sorte que les opérateurs d’entrelacement qui vont apparaître soient bien définis
et inversibles. Pour ˜
Q ∈ P( ˜
M ), l’opérateur J P |Q (π)J Q|P (π) est un automorphisme
de V π,P . Notons μ Q|P (π) son inverse. Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, posons
M(π; Λ, ˜
Q) = μ Q|P (π)
−1 μ Q|P (π Λ/2 )J Q|P (π)
−1 J Q|P (π Λ ).
La famille (M(π; Λ, ˜
Q)) ˜
Q∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )-famille à valeurs opérateurs. On
en déduit un opérateur M
˜
G
˜
M
(π; Λ). On pose M
˜
G
˜
M
(π) = M
˜
G
˜
M
(π; 0). Le caractère
pondéré est la forme linéaire sur C
∞
c ( ˜
G(F V ), K) définie par
J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) = trace(M
˜
G
˜
M
(π) Ind
˜
G
˜
P
(˜ π, f )).
On vérifie que cette définition ne dépend pas de l’espace parabolique ˜
P choisi. Au
moins si ˜
π est tempérée, on peut supprimer la condition de K-finitude et définir
J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )).
En utilisant la formule de descente du paragraphe précédent appliquée à ˜
M V
et l’indépendance de l’espace parabolique que l’on vient d’indiquer, on montre que
l’on a l’égalité
(1)
J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v , f v, ˜
Q v ,ω ).
Levons l’hypothèse que ˜
π est en position générale. L’ensemble ⊕ v∈V ˜
A ˜
Mv est
un espace affine sous ⊕ v∈V A ˜
Mv , lequel se projette naturellement sur A ˜
M . On note
˜
A ˜
M le quotient de ⊕ v∈V ˜
A ˜
Mv par le noyau de cette projection. C’est un espace
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.1.5 Caractères pondérés
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Rappelons que, pour une
place v ∈ Val(F ), on a défini en [81] 2.5 la notion de ω-représentation de ˜
G(F v ).
A toute telle ω-représentation ˜
π est associée une représentation sous-jacente π de
G(F v ). On note ˜
A
∗
˜
Gv
l’espace des applications affines ˜
λ : ˜
A ˜
Gv → R. A tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
Gv
est associée une forme linéaire λ sur A ˜
Gv . Si ˜
π est une ω-représentation de ˜
G(F v )
et ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
Gv
, on définit la ω-représentation ˜
π ˜
λ par ˜
π ˜
λ (γ) = e ˜
λ, ˜
H ˜
Gv (γ) ˜
π(γ), où on
note
˜
λ, ˜
H ˜
Gv (γ)
l’évaluation de ˜
λ au point ˜
H ˜
Gv (γ). Pour une ω-représentation
˜
π admissible et de longueur finie de ˜
M (F v ), on a défini, à la suite d’Arthur, le
caractère pondéré f → J
˜
Gv
˜
Mv
(˜ π, f ). Dans la suite de ce paragraphe, on va globaliser
cette définition.
Pour tout v ∈ V , soit ˜
π v une ω-représentation de ˜
M (F v ), admissible et de
longueur finie. Posons ˜
π V = ⊗ v∈V ˜
π v . Fixons ˜
P ∈ P( ˜
M ), introduisons la représentation induite Ind
˜
G
˜
P
(˜ π) de ˜
G(F V ), que l’on réalise dans son espace habituel que
l’on note V π,P . Supposons dans un premier temps que ˜
π est en position générale
de sorte que les opérateurs d’entrelacement qui vont apparaître soient bien définis
et inversibles. Pour ˜
Q ∈ P( ˜
M ), l’opérateur J P |Q (π)J Q|P (π) est un automorphisme
de V π,P . Notons μ Q|P (π) son inverse. Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, posons
M(π; Λ, ˜
Q) = μ Q|P (π)
−1 μ Q|P (π Λ/2 )J Q|P (π)
−1 J Q|P (π Λ ).
La famille (M(π; Λ, ˜
Q)) ˜
Q∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )-famille à valeurs opérateurs. On
en déduit un opérateur M
˜
G
˜
M
(π; Λ). On pose M
˜
G
˜
M
(π) = M
˜
G
˜
M
(π; 0). Le caractère
pondéré est la forme linéaire sur C
∞
c ( ˜
G(F V ), K) définie par
J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) = trace(M
˜
G
˜
M
(π) Ind
˜
G
˜
P
(˜ π, f )).
On vérifie que cette définition ne dépend pas de l’espace parabolique ˜
P choisi. Au
moins si ˜
π est tempérée, on peut supprimer la condition de K-finitude et définir
J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )).
En utilisant la formule de descente du paragraphe précédent appliquée à ˜
M V
et l’indépendance de l’espace parabolique que l’on vient d’indiquer, on montre que
l’on a l’égalité
(1)
J
˜
G
˜
M
(˜ π, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V )
v∈V
J
˜
L
v
˜
Mv
(˜ π v , f v, ˜
Q v ,ω ).
Levons l’hypothèse que ˜
π est en position générale. L’ensemble ⊕ v∈V ˜
A ˜
Mv est
un espace affine sous ⊕ v∈V A ˜
Mv , lequel se projette naturellement sur A ˜
M . On note
˜
A ˜
M le quotient de ⊕ v∈V ˜
A ˜
Mv par le noyau de cette projection. C’est un espace