VI.1. Les définitions
597
simples relativement à P . A toute racine α ∈ Δ ˜
P , on associe une coracine ˇ
α ∈
A ˜
M (la normalisation précise de ˇ
α n’importe pas, la demi-droite qu’elle porte
étant définie sans ambiguïté). On note Z( ˇ
Δ ˜
P ) le réseau de A
˜
G
˜
M
engendré par ces
coracines. On définit la fonction méromorphe
˜
G
˜
P
(Λ) = mes(A
˜
G
˜
M
/Z[ ˇ
Δ ˜
P ])
α∈Δ ˜
P
Λ, ˇ
α
−1
sur le complexifié A
∗
˜
M,C
. On déduit de la ( ˜
G, ˜
M )-famille une fonction
c
˜
G
˜
M
(Λ) =
˜
P ∈P( ˜
M)
c( ˜
P ; Λ)
˜
G
˜
P
(Λ).
D’autre part, pour v ∈ V et ˜
Q
v = ˜
L
v ˜
U Q v ∈F( ˜
R
v ), on déduit de (c v ( ˜
S
v ; Λ)) ˜
S v ∈P( ˜
R v )
une ( ˜
L
v , ˜
R
v )-famille (c v ( ˜
S
v ; Λ)) ˜
S v ∈P( ˜
R v ); ˜
S v ⊂ ˜
Q v , puis une fonction c
˜
Q
v
v, ˜
R v (Λ). Posons
˜
R
V = ( ˜
R
v ) v∈V et notons L( ˜
R
V ) l’ensemble des familles ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V où ˜
L
v
∈
L( ˜
R
v ) pour tout v ∈ V . Pour une telle famille, on pose
A ˜
L V = ⊕ v∈V A ˜
L v , A
˜
G
˜
L V = ⊕ v∈V A
˜
G
˜
L v
où A
˜
G
˜
L v est l’orthogonal dans A ˜
L v de l’image naturelle de A ˜
G (notons que cette
image est incluse dans A ˜
Gv mais l’inclusion peut être stricte : ˜
G peut être plus
déployé sur F v que sur F ). L’espace A
˜
G
˜
R V contient A
˜
G
˜
L V comme sous-espace. Il
contient aussi l’espace Δ V (A
˜
G
˜
M
) où Δ V est le plongement diagonal. On définit le
coefficient d
˜
G
˜
R V ( ˜
M , ˜
L
V ). Il est nul sauf si
A
˜
G
˜
R V = Δ V (A
˜
G
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V .
Si cette égalité est vérifiée, c’est le rapport entre la mesure sur le membre de droite
et celle sur le membre de gauche. Pour tout ˜
L
V tel que ce nombre soit non nul,
Arthur définit, au moyen d’une donnée auxiliaire, une famille ( ˜
Q
v ) v∈V telle que
˜
Q
v
∈ P( ˜
L
v ) pour tout v ∈ V . On a alors la formule
(1)
c
˜
G
˜
M
(Λ) =
˜
L V ∈L( ˜
R V )
d
˜
G
˜
R V ( ˜
M, ˜
L
V )
v∈V
c
˜
Q
v
v, ˜
R v (Λ).
Cf. [7] proposition 7.1.
On appliquera souvent cette formule à la famille ˜
R
V = ( ˜
M v ) v∈V . On note
˜
M V cette famille.
597
simples relativement à P . A toute racine α ∈ Δ ˜
P , on associe une coracine ˇ
α ∈
A ˜
M (la normalisation précise de ˇ
α n’importe pas, la demi-droite qu’elle porte
étant définie sans ambiguïté). On note Z( ˇ
Δ ˜
P ) le réseau de A
˜
G
˜
M
engendré par ces
coracines. On définit la fonction méromorphe
˜
G
˜
P
(Λ) = mes(A
˜
G
˜
M
/Z[ ˇ
Δ ˜
P ])
α∈Δ ˜
P
Λ, ˇ
α
−1
sur le complexifié A
∗
˜
M,C
. On déduit de la ( ˜
G, ˜
M )-famille une fonction
c
˜
G
˜
M
(Λ) =
˜
P ∈P( ˜
M)
c( ˜
P ; Λ)
˜
G
˜
P
(Λ).
D’autre part, pour v ∈ V et ˜
Q
v = ˜
L
v ˜
U Q v ∈F( ˜
R
v ), on déduit de (c v ( ˜
S
v ; Λ)) ˜
S v ∈P( ˜
R v )
une ( ˜
L
v , ˜
R
v )-famille (c v ( ˜
S
v ; Λ)) ˜
S v ∈P( ˜
R v ); ˜
S v ⊂ ˜
Q v , puis une fonction c
˜
Q
v
v, ˜
R v (Λ). Posons
˜
R
V = ( ˜
R
v ) v∈V et notons L( ˜
R
V ) l’ensemble des familles ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V où ˜
L
v
∈
L( ˜
R
v ) pour tout v ∈ V . Pour une telle famille, on pose
A ˜
L V = ⊕ v∈V A ˜
L v , A
˜
G
˜
L V = ⊕ v∈V A
˜
G
˜
L v
où A
˜
G
˜
L v est l’orthogonal dans A ˜
L v de l’image naturelle de A ˜
G (notons que cette
image est incluse dans A ˜
Gv mais l’inclusion peut être stricte : ˜
G peut être plus
déployé sur F v que sur F ). L’espace A
˜
G
˜
R V contient A
˜
G
˜
L V comme sous-espace. Il
contient aussi l’espace Δ V (A
˜
G
˜
M
) où Δ V est le plongement diagonal. On définit le
coefficient d
˜
G
˜
R V ( ˜
M , ˜
L
V ). Il est nul sauf si
A
˜
G
˜
R V = Δ V (A
˜
G
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V .
Si cette égalité est vérifiée, c’est le rapport entre la mesure sur le membre de droite
et celle sur le membre de gauche. Pour tout ˜
L
V tel que ce nombre soit non nul,
Arthur définit, au moyen d’une donnée auxiliaire, une famille ( ˜
Q
v ) v∈V telle que
˜
Q
v
∈ P( ˜
L
v ) pour tout v ∈ V . On a alors la formule
(1)
c
˜
G
˜
M
(Λ) =
˜
L V ∈L( ˜
R V )
d
˜
G
˜
R V ( ˜
M, ˜
L
V )
v∈V
c
˜
Q
v
v, ˜
R v (Λ).
Cf. [7] proposition 7.1.
On appliquera souvent cette formule à la famille ˜
R
V = ( ˜
M v ) v∈V . On note
˜
M V cette famille.