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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
munit cet espace vectoriel réel d’une forme quadratique définie positive invariante
par l’action galoisienne quasi-déployée, par celle du groupe de Weyl W et par l’automorphisme θ associé à E
∗ . C’est possible puisque le groupe d’automorphismes
de h R engendré par ces actions est fini. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. En choisissant un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ), on peut identifier A ˜
M à un sous-espace de h R . Alors
A ˜
M se retrouve muni de la restriction de la forme quadratique précédente. Les
invariances imposées à cette dernière impliquent que cette restriction ne dépend
pas du choix de ˜
P . On munit A ˜
M et plus généralement tout sous-espace de A ˜
M
de la mesure euclidienne associée à cette forme quadratique.
En tout cas, on suppose fixées les mesures sur ces espaces, d’une façon ou
d’une autre. De même, si v est une place de F et ˜
M
v est un espace de Levi de
˜
G v , on suppose fixée une mesure de Haar sur A ˜
M v . Notons qu’on n’impose pas de
relation entre les mesures «locales» et les mesures «globales». Par exemple, si G
est déployé et si ˜
M est un espace de Levi de ˜
G, on a l’égalité A ˜
M = A ˜
Mv , mais
on ne demande pas que les mesures sur ces espaces soient les mêmes.
Notons G Q le groupe sur Q déduit de G par restriction des scalaires et,
comme toujours, A G Q le plus grand tore déployé central dans G Q . On note A G
la composante neutre topologique de A G Q (R). Notons que A G Q est aussi le plus
grand tore déployé dans le groupe sur Q déduit de A G par restriction des scalaires.
On en déduit des inclusions
A G ⊂ A G (F ∞ ) ⊂ A G (A F ) ⊂ G(A F ),
où F ∞ =
v∈Val∞(F ) F v . L’espace A G est conservé par θ. On note A ˜
G le sousespace des points fixes par θ. La restriction à A G de l’homomorphisme H G :
G ( A F ) → A G est un isomorphisme qui permet d’identifier A G à A G et A ˜
G à A ˜
G .
On munit l’espace A ˜
G de la mesure telle que ce dernier isomorphisme préserve les
mesures.
VI.1.4 Formule de descente des ( ˜
G, ˜
M )-familles
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et V un ensemble fini non vide de places de F .
Pour v ∈ V , on note ˜
G v , ˜
M v etc. . . les espaces ˜
G, ˜
M etc. . . vus comme des espaces
sur F v . Pour tout v, soit ˜
R
v un espace de Levi de ˜
M v défini sur F v . On a mis
v en exposant pour éviter une possible confusion : ˜
R
v n’a pas de raison d’être le
localisé d’un espace ˜
R défini sur F . Soit (c v ( ˜
S
v ; Λ)) ˜
S v ∈P( ˜
R v ) une ( ˜
G v , ˜
R
v )-famille
(la variable Λ appartient à iA
∗
˜
R v ). On en déduit une ( ˜
G, ˜
M )-famille de la façon
suivante. Pour ˜
P ∈ P( ˜
M ) et v ∈ V , on choisit ˜
S
v
∈ P( ˜
R
v ) tel que ˜
S
v
⊂ ˜
P v .
L’espace iA
∗
˜
M
se plonge dans iA
∗
˜
R v . Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, on pose
c( ˜
P ; Λ) =
v∈V
c v ( ˜
S
v ; Λ).
Cela ne dépend pas du choix des ˜
S
v et la famille (c( ˜
P ; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )famille. Pour ˜
P ∈ P( ˜
M ), on note Δ ˜
P l’ensemble des restrictions à A ˜
M de racines
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
munit cet espace vectoriel réel d’une forme quadratique définie positive invariante
par l’action galoisienne quasi-déployée, par celle du groupe de Weyl W et par l’automorphisme θ associé à E
∗ . C’est possible puisque le groupe d’automorphismes
de h R engendré par ces actions est fini. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. En choisissant un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ), on peut identifier A ˜
M à un sous-espace de h R . Alors
A ˜
M se retrouve muni de la restriction de la forme quadratique précédente. Les
invariances imposées à cette dernière impliquent que cette restriction ne dépend
pas du choix de ˜
P . On munit A ˜
M et plus généralement tout sous-espace de A ˜
M
de la mesure euclidienne associée à cette forme quadratique.
En tout cas, on suppose fixées les mesures sur ces espaces, d’une façon ou
d’une autre. De même, si v est une place de F et ˜
M
v est un espace de Levi de
˜
G v , on suppose fixée une mesure de Haar sur A ˜
M v . Notons qu’on n’impose pas de
relation entre les mesures «locales» et les mesures «globales». Par exemple, si G
est déployé et si ˜
M est un espace de Levi de ˜
G, on a l’égalité A ˜
M = A ˜
Mv , mais
on ne demande pas que les mesures sur ces espaces soient les mêmes.
Notons G Q le groupe sur Q déduit de G par restriction des scalaires et,
comme toujours, A G Q le plus grand tore déployé central dans G Q . On note A G
la composante neutre topologique de A G Q (R). Notons que A G Q est aussi le plus
grand tore déployé dans le groupe sur Q déduit de A G par restriction des scalaires.
On en déduit des inclusions
A G ⊂ A G (F ∞ ) ⊂ A G (A F ) ⊂ G(A F ),
où F ∞ =
v∈Val∞(F ) F v . L’espace A G est conservé par θ. On note A ˜
G le sousespace des points fixes par θ. La restriction à A G de l’homomorphisme H G :
G ( A F ) → A G est un isomorphisme qui permet d’identifier A G à A G et A ˜
G à A ˜
G .
On munit l’espace A ˜
G de la mesure telle que ce dernier isomorphisme préserve les
mesures.
VI.1.4 Formule de descente des ( ˜
G, ˜
M )-familles
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et V un ensemble fini non vide de places de F .
Pour v ∈ V , on note ˜
G v , ˜
M v etc. . . les espaces ˜
G, ˜
M etc. . . vus comme des espaces
sur F v . Pour tout v, soit ˜
R
v un espace de Levi de ˜
M v défini sur F v . On a mis
v en exposant pour éviter une possible confusion : ˜
R
v n’a pas de raison d’être le
localisé d’un espace ˜
R défini sur F . Soit (c v ( ˜
S
v ; Λ)) ˜
S v ∈P( ˜
R v ) une ( ˜
G v , ˜
R
v )-famille
(la variable Λ appartient à iA
∗
˜
R v ). On en déduit une ( ˜
G, ˜
M )-famille de la façon
suivante. Pour ˜
P ∈ P( ˜
M ) et v ∈ V , on choisit ˜
S
v
∈ P( ˜
R
v ) tel que ˜
S
v
⊂ ˜
P v .
L’espace iA
∗
˜
M
se plonge dans iA
∗
˜
R v . Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, on pose
c( ˜
P ; Λ) =
v∈V
c v ( ˜
S
v ; Λ).
Cela ne dépend pas du choix des ˜
S
v et la famille (c( ˜
P ; Λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )famille. Pour ˜
P ∈ P( ˜
M ), on note Δ ˜
P l’ensemble des restrictions à A ˜
M de racines