VI.1. Les définitions
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VI.1.2 Remarque sur les hypothèses
On va montrer
(1) il existe un groupe algébrique non connexe G
+ défini sur F et réductif, de
composante neutre G, de sorte que ˜
G s’identifie à une composante connexe
de G
+ munie des actions de G par multiplication à droite et à gauche.
Preuve. Fixons γ ∈ ˜
G(F ), posons θ = ad γ . Parce que l’on suppose que la restriction de θ à Z(G) est d’ordre fini, il existe un entier n ≥ 1 tel que θ
n soit un
automorphisme intérieur de G. Il existe donc x ∈ G SC ( ¯
F ) tel que θ
n = ad x . Parce
que θ est défini sur F , ad x l’est aussi. Donc σ(x) ∈ xZ(G SC ) pour tout σ ∈ Γ F .
Parce que θ commute à θ
n , donc à ad x , on a aussi θ(x) ∈ xZ(G SC ). Notons m le
nombre d’éléments de Z(G SC ). Posons N = mn et y = x
m . Alors θ
N = ad y et on
a y ∈ G SC (F ) et θ(y) = y. Notons G
+ l’ensemble des éléments (g, θ
i ) avec g ∈ G
et i ∈ {0, . . . , N − 1}. On définit la multiplication par
(g, θ
i )(g
, θ
j ) =
(gθ
i (g
), θ
i+j ),
si i + j ≤ N − 1,
(gθ
i (g
)y, θ
k ), si i + j = N + k avec k ≥ 0.
On obtient un groupe réductif non connexe défini sur F . L’application (g, θ) → gγ
identifie la composante Gθ de G
+ à ˜
G.
Cette remarque ne nous servira pas directement. Mais elle nous permet d’appliquer à notre espace ˜
G les résultats démontrés dans la littérature pour les groupes
non connexes.
VI.1.3 Mesures sur les espaces A ˜
M
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On aura besoin d’une mesure sur l’espace A ˜
M .
On a choisi d’éviter autant que possible de normaliser les mesures. Logiquement,
on devrait faire de même pour la mesure sur cet espace. Toutefois, cela conduirait
à des formulations par trop inhabituelles des formules de descente. On fixe donc
sur tout espace A ˜
M une mesure de Haar, à laquelle on impose quelques conditions
évidentes ; par exemple, si ˜
M et ˜
M
sont conjugués par un élément g ∈ G(F ), on
suppose que les mesures sur A ˜
M et A ˜
M se correspondent par cette conjugaison.
Si ˜
M ⊂ ˜
L sont deux espaces de Levi, on munit A
˜
L
˜
M
de la mesure pour laquelle la
décomposition A ˜
M = A
˜
L
˜
M
⊕ A ˜
L est compatible aux mesures.
Il y a au moins deux façons de définir ces mesures. Identifions A ˜
M à
Hom(X
∗ (M )
ΓF ,θ , R), où X
∗ (M ) est le groupe des caractères algébriques de M .
Notons A ˜
M,Z le réseau Hom(X
∗ (M )
ΓF ,θ , Z). On peut imposer que ce réseau est de
covolume 1. C’est la normalisation de la théorie des mesures de Tamagawa. Elle a
l’inconvénient de se comporter assez mal vis-à-vis des suites exactes. Une autre méthode est la suivante. Considérons la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ ,T
∗ ,(E
∗
α ) α∈Δ )
de G, munie de l’action galoisienne quasi-déployée. Posons h R = X ∗ (T
∗ ) ⊗ Z R. On
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VI.1.2 Remarque sur les hypothèses
On va montrer
(1) il existe un groupe algébrique non connexe G
+ défini sur F et réductif, de
composante neutre G, de sorte que ˜
G s’identifie à une composante connexe
de G
+ munie des actions de G par multiplication à droite et à gauche.
Preuve. Fixons γ ∈ ˜
G(F ), posons θ = ad γ . Parce que l’on suppose que la restriction de θ à Z(G) est d’ordre fini, il existe un entier n ≥ 1 tel que θ
n soit un
automorphisme intérieur de G. Il existe donc x ∈ G SC ( ¯
F ) tel que θ
n = ad x . Parce
que θ est défini sur F , ad x l’est aussi. Donc σ(x) ∈ xZ(G SC ) pour tout σ ∈ Γ F .
Parce que θ commute à θ
n , donc à ad x , on a aussi θ(x) ∈ xZ(G SC ). Notons m le
nombre d’éléments de Z(G SC ). Posons N = mn et y = x
m . Alors θ
N = ad y et on
a y ∈ G SC (F ) et θ(y) = y. Notons G
+ l’ensemble des éléments (g, θ
i ) avec g ∈ G
et i ∈ {0, . . . , N − 1}. On définit la multiplication par
(g, θ
i )(g
, θ
j ) =
(gθ
i (g
), θ
i+j ),
si i + j ≤ N − 1,
(gθ
i (g
)y, θ
k ), si i + j = N + k avec k ≥ 0.
On obtient un groupe réductif non connexe défini sur F . L’application (g, θ) → gγ
identifie la composante Gθ de G
+ à ˜
G.
Cette remarque ne nous servira pas directement. Mais elle nous permet d’appliquer à notre espace ˜
G les résultats démontrés dans la littérature pour les groupes
non connexes.
VI.1.3 Mesures sur les espaces A ˜
M
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On aura besoin d’une mesure sur l’espace A ˜
M .
On a choisi d’éviter autant que possible de normaliser les mesures. Logiquement,
on devrait faire de même pour la mesure sur cet espace. Toutefois, cela conduirait
à des formulations par trop inhabituelles des formules de descente. On fixe donc
sur tout espace A ˜
M une mesure de Haar, à laquelle on impose quelques conditions
évidentes ; par exemple, si ˜
M et ˜
M
sont conjugués par un élément g ∈ G(F ), on
suppose que les mesures sur A ˜
M et A ˜
M se correspondent par cette conjugaison.
Si ˜
M ⊂ ˜
L sont deux espaces de Levi, on munit A
˜
L
˜
M
de la mesure pour laquelle la
décomposition A ˜
M = A
˜
L
˜
M
⊕ A ˜
L est compatible aux mesures.
Il y a au moins deux façons de définir ces mesures. Identifions A ˜
M à
Hom(X
∗ (M )
ΓF ,θ , R), où X
∗ (M ) est le groupe des caractères algébriques de M .
Notons A ˜
M,Z le réseau Hom(X
∗ (M )
ΓF ,θ , Z). On peut imposer que ce réseau est de
covolume 1. C’est la normalisation de la théorie des mesures de Tamagawa. Elle a
l’inconvénient de se comporter assez mal vis-à-vis des suites exactes. Une autre méthode est la suivante. Considérons la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ ,T
∗ ,(E
∗
α ) α∈Δ )
de G, munie de l’action galoisienne quasi-déployée. Posons h R = X ∗ (T
∗ ) ⊗ Z R. On