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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
en complétant un produit ⊗ v∈V f v en le produit 1 ˜
K V
S
⊗ (⊗ v∈V f v ). De même, on
peut identifier I( ˜
G(F V ), ω) à un sous-espace de I( ˜
G(F S ), ω). On peut aussi identifier Mes(G(F V )) à Mes(G(F S )).
Nos preuves se feront par récurrence. Posons en toute généralité les hypothèses de récurrence qu’on utilisera (qui étendent celles posées dans les chapitres
précédents). Nos résultats concernent des triplets (G, ˜
G, a) définis sur un corps F
qui est soit un corps de nombres comme ci-dessus, soit un corps local de caractéristique nulle comme dans les chapitres précédents. Une variante consiste à considérer
des K-triplets (KG, K ˜
G, a) que l’on a déjà définis sur le corps de base R et que l’on
définira en 1.16 sur un corps de nombres. On isole un cas particulier : celui d’un
triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. En tout cas, on raisonne par
récurrence sur l’entier dim(G SC ), où G SC est le revêtement simplement connexe du
groupe dérivé de G et dim(G SC ) est sa dimension sur F . Si (G, ˜
G, a) est un triplet
quasi-déployé et à torsion intérieure défini sur F , on suppose connues toutes les
assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure
définis sur un corps F
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si (G, ˜
G, a) est un triplet
défini sur F qui n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connues
toutes les assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion
intérieure définis sur un corps F
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et on suppose
connues toutes les assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quelconques définis sur un corps F
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Quand on travaille avec
un K-triplet (KG, K ˜
G, a) défini sur F , on suppose connues toutes les assertions
concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure définis sur
un corps F
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et on suppose connues toutes les assertions concernant des K-triplets (KG
, K ˜
G
, a
) définis sur un corps F
tels que
dim(G
SC ) < dim(G SC ). On utilise une deuxième récurrence lorsqu’une assertion
fait intervenir un espace de Levi ˜
M d’un triplet (G, ˜
G, a) défini sur F . Dans ce cas,
on suppose connues toutes les assertions concernant le triplet (G, ˜
G, a) relatives
à un espace de Levi ˜
L contenant strictement ˜
M . On utilise une résurrence analogue lorsqu’une assertion fait intervenir un K-espace de Levi K ˜
M d’un K-triplet
(KG, K ˜
G, a). Il intervient aussi des assertions annexes concernant des triplets endoscopiques non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). Dans le cas local, on a déjà indiqué en [III]
6.3 comment on les insérait dans notre schéma de récurrence. Le cas global est
similaire, cf. 5.8 ci-dessous.
La nécessité de faire varier le corps de base F dans ces hypothèses a deux
sources. D’abord, quand on travaille avec un triplet défini (G, ˜
G, a) sur un corps de
nombres F , on doit connaître certaines propriétés des triplets localisés (G v , ˜
G v , a v ).
Inversement, la preuve du principal théorème local ([II] 1.16) se fait par globalisation. On a donc besoin, pour démontrer ce théorème pour un triplet défini sur un
corps local F , d’utiliser des propriétés concernant des triplets définis sur un corps
de nombres dont F est un localisé.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
en complétant un produit ⊗ v∈V f v en le produit 1 ˜
K V
S
⊗ (⊗ v∈V f v ). De même, on
peut identifier I( ˜
G(F V ), ω) à un sous-espace de I( ˜
G(F S ), ω). On peut aussi identifier Mes(G(F V )) à Mes(G(F S )).
Nos preuves se feront par récurrence. Posons en toute généralité les hypothèses de récurrence qu’on utilisera (qui étendent celles posées dans les chapitres
précédents). Nos résultats concernent des triplets (G, ˜
G, a) définis sur un corps F
qui est soit un corps de nombres comme ci-dessus, soit un corps local de caractéristique nulle comme dans les chapitres précédents. Une variante consiste à considérer
des K-triplets (KG, K ˜
G, a) que l’on a déjà définis sur le corps de base R et que l’on
définira en 1.16 sur un corps de nombres. On isole un cas particulier : celui d’un
triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. En tout cas, on raisonne par
récurrence sur l’entier dim(G SC ), où G SC est le revêtement simplement connexe du
groupe dérivé de G et dim(G SC ) est sa dimension sur F . Si (G, ˜
G, a) est un triplet
quasi-déployé et à torsion intérieure défini sur F , on suppose connues toutes les
assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure
définis sur un corps F
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si (G, ˜
G, a) est un triplet
défini sur F qui n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connues
toutes les assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion
intérieure définis sur un corps F
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et on suppose
connues toutes les assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quelconques définis sur un corps F
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Quand on travaille avec
un K-triplet (KG, K ˜
G, a) défini sur F , on suppose connues toutes les assertions
concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure définis sur
un corps F
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et on suppose connues toutes les assertions concernant des K-triplets (KG
, K ˜
G
, a
) définis sur un corps F
tels que
dim(G
SC ) < dim(G SC ). On utilise une deuxième récurrence lorsqu’une assertion
fait intervenir un espace de Levi ˜
M d’un triplet (G, ˜
G, a) défini sur F . Dans ce cas,
on suppose connues toutes les assertions concernant le triplet (G, ˜
G, a) relatives
à un espace de Levi ˜
L contenant strictement ˜
M . On utilise une résurrence analogue lorsqu’une assertion fait intervenir un K-espace de Levi K ˜
M d’un K-triplet
(KG, K ˜
G, a). Il intervient aussi des assertions annexes concernant des triplets endoscopiques non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). Dans le cas local, on a déjà indiqué en [III]
6.3 comment on les insérait dans notre schéma de récurrence. Le cas global est
similaire, cf. 5.8 ci-dessous.
La nécessité de faire varier le corps de base F dans ces hypothèses a deux
sources. D’abord, quand on travaille avec un triplet défini (G, ˜
G, a) sur un corps de
nombres F , on doit connaître certaines propriétés des triplets localisés (G v , ˜
G v , a v ).
Inversement, la preuve du principal théorème local ([II] 1.16) se fait par globalisation. On a donc besoin, pour démontrer ce théorème pour un triplet défini sur un
corps local F , d’utiliser des propriétés concernant des triplets définis sur un corps
de nombres dont F est un localisé.