VI.1. Les définitions
593
Remarque. On adopte cette définition par commodité. On pourrait aussi bien
utiliser un espace un peu plus gros en regroupant les places archimédiennes. C’està-dire que l’on pourrait remplacer la partie archimédienne ⊗ v∈V ∩V∞(F ) C
∞
c ( ˜
G(F v ))
du produit tensoriel ci-dessus par C
∞
c (
v∈V ∩V∞(F )
˜
G(F v )).
Considérons le cas où V ⊃ V ram . Dans ce cas, on peut identifier C
∞
c ( ˜
G(F V ))
à un sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(A F )) en complétant un produit ⊗ v∈V f v en le produit
1 ˜
K V ⊗ (⊗ v∈V f v ), où 1 ˜
K V = ⊗ v ∈V 1 ˜
Kv . . On peut aussi identifier Mes(G(F V )) à
Mes(G(A F )) en prolongeant toute mesure sur G(F V ) par les produit sur v ∈ V
des mesures canoniques sur G(F v ). Pour tout v ∈ Val(F ), notons ˜
G v l’espace ˜
G
vu comme un espace sur F v . En [II] 1.6, on a défini l’ensemble ˜
A ˜
Gv de la façon
suivante. On note G(F v )
1 le noyau et A ˜
Gv ,Fv l’image de l’homomorphisme H ˜
Gv :
G(F v ) → A ˜
Gv . Alors le sous-groupe A ˜
Gv,Fv agit naturellement sur G(F v )
1
\ ˜
G(F v ).
On pose
˜
A ˜
Gv = (G(F v )
1
\ ˜
G(F v )) ⊗ A ˜
Gv ,Fv
A ˜
Gv .
C’est un espace affine sous A ˜
Gv . On note ˜
H ˜
Gv : ˜
G(F v ) → ˜
A ˜
Gv l’application
naturelle. Pour v ∈ V ram , l’image de ˜
K v par ˜
H ˜
Gv est réduite à un point et on
identifie ˜
A ˜
Gv à A ˜
Gv en identifiant ce point à 0. Posons
˜
A ˜
GV =
v∈V
˜
A ˜
Gv .
On définit une application
˜
p V : ˜
A ˜
GV → A ˜
G
de la façon suivante. Fixons ˙
γ ∈ ˜
G(F ). Tout élément ˜
X ∈ ˜
A ˜
GV s’écrit ˜
X =
( ˜
H ˜
Gv ( ˙
γ) + X v ) v∈V , où X v ∈ A ˜
Gv . On pose
˜
p V ( ˜
X) =
v∈V
X v, ˜
G
−
v ∈V
( ˜
H ˜
Gv ( ˙
γ)
˜
G
),
où les indices ˜
G désignent les projections orthogonales sur l’espace A ˜
G . Cette
définition ne dépend pas du point ˙
γ choisi. On définit une application
˜
H ˜
GV : ˜
G(F V ) → A ˜
G
par ˜
H ˜
GV ((γ v ) v∈V ) = ˜
p V (( ˜
H ˜
Gv (γ v )) v∈V ).
On introduit le sous-espace C
∞
c ( ˜
G(F V ), K) de C
∞
c ( ˜
G(F V )) formé des fonctions qui, en toute place archimédienne v ∈ V , sont K v -finies à droite et à gauche.
On note I( ˜
G(F V ), K, ω) son image dans I( ˜
G(F V ), ω).
Considérons le cas de deux ensembles finis de places S ⊃ V ⊃ V ram . On pose
F
V
S =
v∈S−V F v . On peut identifier C
∞
c ( ˜
G(F V )) à un sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(F S ))
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Remarque. On adopte cette définition par commodité. On pourrait aussi bien
utiliser un espace un peu plus gros en regroupant les places archimédiennes. C’està-dire que l’on pourrait remplacer la partie archimédienne ⊗ v∈V ∩V∞(F ) C
∞
c ( ˜
G(F v ))
du produit tensoriel ci-dessus par C
∞
c (
v∈V ∩V∞(F )
˜
G(F v )).
Considérons le cas où V ⊃ V ram . Dans ce cas, on peut identifier C
∞
c ( ˜
G(F V ))
à un sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(A F )) en complétant un produit ⊗ v∈V f v en le produit
1 ˜
K V ⊗ (⊗ v∈V f v ), où 1 ˜
K V = ⊗ v ∈V 1 ˜
Kv . . On peut aussi identifier Mes(G(F V )) à
Mes(G(A F )) en prolongeant toute mesure sur G(F V ) par les produit sur v ∈ V
des mesures canoniques sur G(F v ). Pour tout v ∈ Val(F ), notons ˜
G v l’espace ˜
G
vu comme un espace sur F v . En [II] 1.6, on a défini l’ensemble ˜
A ˜
Gv de la façon
suivante. On note G(F v )
1 le noyau et A ˜
Gv ,Fv l’image de l’homomorphisme H ˜
Gv :
G(F v ) → A ˜
Gv . Alors le sous-groupe A ˜
Gv,Fv agit naturellement sur G(F v )
1
\ ˜
G(F v ).
On pose
˜
A ˜
Gv = (G(F v )
1
\ ˜
G(F v )) ⊗ A ˜
Gv ,Fv
A ˜
Gv .
C’est un espace affine sous A ˜
Gv . On note ˜
H ˜
Gv : ˜
G(F v ) → ˜
A ˜
Gv l’application
naturelle. Pour v ∈ V ram , l’image de ˜
K v par ˜
H ˜
Gv est réduite à un point et on
identifie ˜
A ˜
Gv à A ˜
Gv en identifiant ce point à 0. Posons
˜
A ˜
GV =
v∈V
˜
A ˜
Gv .
On définit une application
˜
p V : ˜
A ˜
GV → A ˜
G
de la façon suivante. Fixons ˙
γ ∈ ˜
G(F ). Tout élément ˜
X ∈ ˜
A ˜
GV s’écrit ˜
X =
( ˜
H ˜
Gv ( ˙
γ) + X v ) v∈V , où X v ∈ A ˜
Gv . On pose
˜
p V ( ˜
X) =
v∈V
X v, ˜
G
−
v ∈V
( ˜
H ˜
Gv ( ˙
γ)
˜
G
),
où les indices ˜
G désignent les projections orthogonales sur l’espace A ˜
G . Cette
définition ne dépend pas du point ˙
γ choisi. On définit une application
˜
H ˜
GV : ˜
G(F V ) → A ˜
G
par ˜
H ˜
GV ((γ v ) v∈V ) = ˜
p V (( ˜
H ˜
Gv (γ v )) v∈V ).
On introduit le sous-espace C
∞
c ( ˜
G(F V ), K) de C
∞
c ( ˜
G(F V )) formé des fonctions qui, en toute place archimédienne v ∈ V , sont K v -finies à droite et à gauche.
On note I( ˜
G(F V ), K, ω) son image dans I( ˜
G(F V ), ω).
Considérons le cas de deux ensembles finis de places S ⊃ V ⊃ V ram . On pose
F
V
S =
v∈S−V F v . On peut identifier C
∞
c ( ˜
G(F V )) à un sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(F S ))