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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Pour toute place v ∈ Val(F ), on déduit par localisation de (G, ˜
G, a) un
triplet (G v , ˜
G v , a v ) sur F v , qui vérifie les hypothèses de [I]. On note V ram , ou plus
précisément V ram ( ˜
G, a), le plus petit ensemble de places v contenant les places
archimédiennes et tel que, pour v ∈ V ram , on ait :
– G et a sont non ramifiés en v et ˜
G(F v ) possède un sous-espace hyperspécial ;
– en notant p la caractéristique résiduelle de F v et e v = [F v : Q p ], on a p > 5
et p > N(G)e v + 1, où N (G) est l’entier défini en [79] 4.3.
On fixe une paire parabolique (P 0 , M 0 ) de G définie sur F et minimale. On
en déduit une paire parabolique ( ˜
P 0 , ˜
M 0 ) de ˜
G.
Soit V un ensemble fini de places contenant V ram et tel que G et ˜
G puissent
être définis sur l’anneau o
V des éléments de F qui sont entiers hors de V . Fixer
des structures de G et ˜
G sur o
V permet de définir les ensembles G(o v ) et ˜
G(o v )
pour tout v ∈ V , où o v est l’anneau d’entiers de F v . Pour tout v ∈ V ram , on fixe un
sous-groupe compact hyperspécial K v de G(F v ) et un sous-espace hyperspécial ˜
K v
de ˜
G(F v ) associé à K v . On impose que K v = G(o v ) et ˜
K v = ˜
G(o v ) pour presque
tout v. Cette condition ne dépend ni du choix de V , ni de celui des structures sur
o
V . Elle implique que, pour γ ∈ ˜
G(F ), on a γ ∈ ˜
K v pour presque tout v. Pour
v ∈ V ram , on fixe un sous-groupe compact maximal K v de G(F v ), spécial si v est
non archimédienne. On impose
– pour toute place v ∈ Val(F ), K v est en bonne position relativement à M 0 .
C’est possible puisque, pour v ∈ V ram , tout sous-groupe compact hyperspécial
est conjugué par un élément de G(F v ) à un tel sous-groupe en bonne position
relativement à M 0 . Pour v ∈ V ram , on note 1 ˜
Kv la fonction caractéristique de ˜
K v
dans ˜
G(F v ) et on appelle mesure canonique sur G(F v ) la mesure de Haar sur ce
groupe telle que mes(K v ) = 1 (elle est en effet canonique car tous les sous-groupes
compacts hyperspéciaux ont même mesure).
Pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on utilise les notations d’Arthur P( ˜
M ),
L( ˜
M ) etc. . . Les éléments de ces ensembles sont des espaces paraboliques, resp.
des espaces de Levi etc. . . définis sur F . Pour ˜
M ⊃ ˜
M 0 et v ∈ Val(F ), on pose
˜
K
˜
M
v = ˜
K v ∩ ˜
M (F v ). Ces données vérifient les mêmes conditions que celles pour ˜
G.
Rappelons que l’on note A ˜
G le plus grand sous-tore déployé contenu dans
le sous-groupe d’invariants Z(G)
θ . On note A ˜
G = X ∗ (A ˜
G ) ⊗ Z R. On dispose
de l’homomorphisme habituel H ˜
G : G(A F ) → A ˜
G . On définit une application
˜
H ˜
G : ˜
G(A F ) → A ˜
G par les conditions suivantes :
˜
H ˜
G ( ˙
γ) = 0 pour tout ˙
γ ∈ ˜
G(F ) ;
˜
H ˜
G (xγ) = H ˜
G (x) + ˜
H ˜
G (γ) pour tous x ∈ G(A F ) et γ ∈ ˜
G(A F ).
Soit V un ensemble fini de places de F . On pose F V =
v∈V F v et on note
A
V
F le sous-anneau des adèles dont les composantes sur F v sont nulles pour tout
v ∈ V . On pose
C
∞
c ( ˜
G(F V )) = ⊗ v∈V C
∞
c ( ˜
G(F v )).
On définit de la même façon l’espace I( ˜
G(F V ), ω).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Pour toute place v ∈ Val(F ), on déduit par localisation de (G, ˜
G, a) un
triplet (G v , ˜
G v , a v ) sur F v , qui vérifie les hypothèses de [I]. On note V ram , ou plus
précisément V ram ( ˜
G, a), le plus petit ensemble de places v contenant les places
archimédiennes et tel que, pour v ∈ V ram , on ait :
– G et a sont non ramifiés en v et ˜
G(F v ) possède un sous-espace hyperspécial ;
– en notant p la caractéristique résiduelle de F v et e v = [F v : Q p ], on a p > 5
et p > N(G)e v + 1, où N (G) est l’entier défini en [79] 4.3.
On fixe une paire parabolique (P 0 , M 0 ) de G définie sur F et minimale. On
en déduit une paire parabolique ( ˜
P 0 , ˜
M 0 ) de ˜
G.
Soit V un ensemble fini de places contenant V ram et tel que G et ˜
G puissent
être définis sur l’anneau o
V des éléments de F qui sont entiers hors de V . Fixer
des structures de G et ˜
G sur o
V permet de définir les ensembles G(o v ) et ˜
G(o v )
pour tout v ∈ V , où o v est l’anneau d’entiers de F v . Pour tout v ∈ V ram , on fixe un
sous-groupe compact hyperspécial K v de G(F v ) et un sous-espace hyperspécial ˜
K v
de ˜
G(F v ) associé à K v . On impose que K v = G(o v ) et ˜
K v = ˜
G(o v ) pour presque
tout v. Cette condition ne dépend ni du choix de V , ni de celui des structures sur
o
V . Elle implique que, pour γ ∈ ˜
G(F ), on a γ ∈ ˜
K v pour presque tout v. Pour
v ∈ V ram , on fixe un sous-groupe compact maximal K v de G(F v ), spécial si v est
non archimédienne. On impose
– pour toute place v ∈ Val(F ), K v est en bonne position relativement à M 0 .
C’est possible puisque, pour v ∈ V ram , tout sous-groupe compact hyperspécial
est conjugué par un élément de G(F v ) à un tel sous-groupe en bonne position
relativement à M 0 . Pour v ∈ V ram , on note 1 ˜
Kv la fonction caractéristique de ˜
K v
dans ˜
G(F v ) et on appelle mesure canonique sur G(F v ) la mesure de Haar sur ce
groupe telle que mes(K v ) = 1 (elle est en effet canonique car tous les sous-groupes
compacts hyperspéciaux ont même mesure).
Pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on utilise les notations d’Arthur P( ˜
M ),
L( ˜
M ) etc. . . Les éléments de ces ensembles sont des espaces paraboliques, resp.
des espaces de Levi etc. . . définis sur F . Pour ˜
M ⊃ ˜
M 0 et v ∈ Val(F ), on pose
˜
K
˜
M
v = ˜
K v ∩ ˜
M (F v ). Ces données vérifient les mêmes conditions que celles pour ˜
G.
Rappelons que l’on note A ˜
G le plus grand sous-tore déployé contenu dans
le sous-groupe d’invariants Z(G)
θ . On note A ˜
G = X ∗ (A ˜
G ) ⊗ Z R. On dispose
de l’homomorphisme habituel H ˜
G : G(A F ) → A ˜
G . On définit une application
˜
H ˜
G : ˜
G(A F ) → A ˜
G par les conditions suivantes :
˜
H ˜
G ( ˙
γ) = 0 pour tout ˙
γ ∈ ˜
G(F ) ;
˜
H ˜
G (xγ) = H ˜
G (x) + ˜
H ˜
G (γ) pour tous x ∈ G(A F ) et γ ∈ ˜
G(A F ).
Soit V un ensemble fini de places de F . On pose F V =
v∈V F v et on note
A
V
F le sous-anneau des adèles dont les composantes sur F v sont nulles pour tout
v ∈ V . On pose
C
∞
c ( ˜
G(F V )) = ⊗ v∈V C
∞
c ( ˜
G(F v )).
On définit de la même façon l’espace I( ˜
G(F V ), ω).