VI.1. Les définitions
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même comme somme de parties géométriques de formules des traces stables associées à ces mêmes données G
.
Dans la section 6, on montre que ce dernier théorème résulte des autres. Il
s’agit ici d’une reprise du paragraphe 10 de l’article [18]. Il y a deux ingrédients.
D’une part, la proposition combinatoire 6.5 qui fournit deux expressions a priori
très différentes d’une double somme sur des données endoscopiques G
et sur des
«Levi» M
de G
. D’autre part, une proposition d’annulation 6.6 qui permet dans
le paragraphe suivant de faire disparaître les termes apparaissant dans les formules
de traces stables des données endoscopiques qui ne correspondent à rien du côté
de l’espace initial ˜
G. La démonstration de cette proposition 6.6 est un amusant
exercice basé sur les propriétés des facteurs de transfert globaux.
VI.1 Les définitions
VI.1.1 Groupes et espaces tordus
Soit F un corps de nombres. On note Val(F ) l’ensemble de ses places, Val ∞ (F )
le sous-ensemble des places archimédiennes, Val f (F ) celui des places finies et A F
son anneau d’adèles. On fixe une clôture algébrique ¯
F de F . Il est commode de
supposer tacitement que, pour toute place v ∈ Val(F ), on a choisi un prolongement
¯
v de v à ¯
F . Ainsi, on peut définir le sous-groupe de décomposition Γ Fv ⊂ Γ F comme
le fixateur de ¯
v. De même, pour une variété X définie sur F , on a une application
X( ¯
F ) → X( ¯
F v ) obtenue en identifiant ¯
F à un sous-corps de ¯
F v grâce à la place ¯
v.
Soient G un groupe réductif connexe défini sur F et ˜
G un espace tordu sous G.
On utilise les définitions des quatre premiers paragraphes de [I]. Soit a un élément
du groupe H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)), où ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)) est le noyau (fini)
de l’homomorphisme de localisation
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) →
v∈Val(F )
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)).
Cet élément a détermine un caractère ω de G(A), trivial sur G(F ). L’application
a → ω est bijective, cf. [83]. On impose les hypothèses analogues à celles de [I] 1.5 :
• ˜
G(F ) = ∅ ;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini, où ici θ est la restriction de ad γ
à Z(G) pour n’importe quel élément γ ∈ ˜
G.
On impose de plus
• ω est unitaire.
On pourrait ajouter la condition
• ω est trivial sur Z(G; A F )
θ ,
faute de laquelle la théorie devient vide. Mais, pour des raisons de récurrence, il
vaut mieux ne pas l’imposer dès le départ.
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même comme somme de parties géométriques de formules des traces stables associées à ces mêmes données G
.
Dans la section 6, on montre que ce dernier théorème résulte des autres. Il
s’agit ici d’une reprise du paragraphe 10 de l’article [18]. Il y a deux ingrédients.
D’une part, la proposition combinatoire 6.5 qui fournit deux expressions a priori
très différentes d’une double somme sur des données endoscopiques G
et sur des
«Levi» M
de G
. D’autre part, une proposition d’annulation 6.6 qui permet dans
le paragraphe suivant de faire disparaître les termes apparaissant dans les formules
de traces stables des données endoscopiques qui ne correspondent à rien du côté
de l’espace initial ˜
G. La démonstration de cette proposition 6.6 est un amusant
exercice basé sur les propriétés des facteurs de transfert globaux.
VI.1 Les définitions
VI.1.1 Groupes et espaces tordus
Soit F un corps de nombres. On note Val(F ) l’ensemble de ses places, Val ∞ (F )
le sous-ensemble des places archimédiennes, Val f (F ) celui des places finies et A F
son anneau d’adèles. On fixe une clôture algébrique ¯
F de F . Il est commode de
supposer tacitement que, pour toute place v ∈ Val(F ), on a choisi un prolongement
¯
v de v à ¯
F . Ainsi, on peut définir le sous-groupe de décomposition Γ Fv ⊂ Γ F comme
le fixateur de ¯
v. De même, pour une variété X définie sur F , on a une application
X( ¯
F ) → X( ¯
F v ) obtenue en identifiant ¯
F à un sous-corps de ¯
F v grâce à la place ¯
v.
Soient G un groupe réductif connexe défini sur F et ˜
G un espace tordu sous G.
On utilise les définitions des quatre premiers paragraphes de [I]. Soit a un élément
du groupe H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)), où ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)) est le noyau (fini)
de l’homomorphisme de localisation
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) →
v∈Val(F )
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)).
Cet élément a détermine un caractère ω de G(A), trivial sur G(F ). L’application
a → ω est bijective, cf. [83]. On impose les hypothèses analogues à celles de [I] 1.5 :
• ˜
G(F ) = ∅ ;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini, où ici θ est la restriction de ad γ
à Z(G) pour n’importe quel élément γ ∈ ˜
G.
On impose de plus
• ω est unitaire.
On pourrait ajouter la condition
• ω est trivial sur Z(G; A F )
θ ,
faute de laquelle la théorie devient vide. Mais, pour des raisons de récurrence, il
vaut mieux ne pas l’imposer dès le départ.