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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
affectées de leurs coefficients, selon la classe de conjugaison à laquelle appartient
la partie semi-simple de γ. On obtient ainsi des distributions notées A
˜
G (V, O, ω)
dépendant d’un ensemble fini assez grand V de places du corps de base F et d’une
classe de conjugaison semi-simple O dans ˜
G(F ). On énonce en 2.3 leur définition. Ces distributions sont les ingrédients globaux de la partie géométrique de la
formule des traces. Elles vérifient une formule de descente qui les ramène au cas
basique où ˜
G = G n’est pas tordu et où O est simplement la classe {1} (dans ce
cas, A
˜
G (V, O, ω) est exactement la «partie unipotente» de la formule des traces).
Dans la section 3, on présente la théorie de l’endoscopie dans le cadre global.
La différence essentielle avec le cas local développé en [I] est que, dans le cas
global, pour une donnée endoscopique G
relevante, il y a un facteur de transfert
canonique. La situation tordue pose ici un problème technique. Usuellement, la
définition d’un tel facteur utilise un point δ ∈ ˜
G
(F ), assez régulier, qui se transfère
en un élément γ v ∈ ˜
G(F v ) pour toute place v de F . Dans le cas non tordu, un tel
point existe si G
est relevante. Ce n’est plus vrai dans le cas tordu. On dit que
G
est relevante si et seulement ˜
G
(F ) = ∅ et la donnée locale G
v est relevante
pour toute place v. On a posé cette définition parce que c’est la seule notion que
l’on sache contrôler. Or cela n’assure pas l’existence d’un δ ∈ ˜
G
(F ) vérifiant les
propriétés ci-dessus. Il est possible que les données G
pour lesquelles il n’existe
pas de tel δ puissent être éliminées du processus de stabilisation mais cela ne nous
paraît pas clair. On a plutôt choisi de donner une définition du facteur de transfert
global sous la seule hypothèse de relevance telle que définie ci-dessus. D’abord, en
inspectant les définitions de Kottwitz–Shelstad ou de Labesse, on voit que l’on n’a
pas vraiment besoin d’un δ comme ci-dessus. Il suffit qu’il existe un sous-tore tordu
maximal ˜
T
de ˜
G
, défini sur F , de sorte que, pour toute place v, il existe un élément
δ v ∈ ˜
T
(F v ) assez régulier qui se transfère en un élément γ v ∈ ˜
G(F v ). Même cette
propriété moins forte n’est pas assurée par notre hypothèse de relevance. Mais on
peut plonger ˜
G et ˜
G
dans des espaces plus gros qui satisfont cette propriété. On
définit alors le facteur de transfert comme la restriction à notre couple ( ˜
G
, ˜
G) du
facteur de transfert défini sur ces espaces plus gros. Cela est fait au paragraphe 3.9.
Dans la section 4, on définit les avatars stables et endoscopiques des intégrales
orbitales pondérées invariantes. On énonce le résultat principal en 4.5, à savoir
qu’une intégrale orbitale pondérée endoscopique est en fait une intégrale orbitale
pondérée (ω-équivariante) tout court. Ce résultat se déduit des analogues locaux
énoncés en [II] et [V], qui restent à démontrer.
La section 5 énonce la version stable de la partie géométrique de la formule
des traces. Les distributions A
˜
G (V, O, ω) sont remplacées par des distributions
SA
˜
G (V, O), où cette fois, O est une classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ). Ces
distributions doivent être stables. Le théorème 5.4 exprime que les coefficients initiaux A
˜
G (V, O, ω) se récupèrent comme somme de transferts de tels coefficients
SA
G
(V, O
G
), où G
décrit les données endoscopiques de (G, ˜
G, a) qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . Le théorème principal 5.10 exprime
que la partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante se récupère de
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
affectées de leurs coefficients, selon la classe de conjugaison à laquelle appartient
la partie semi-simple de γ. On obtient ainsi des distributions notées A
˜
G (V, O, ω)
dépendant d’un ensemble fini assez grand V de places du corps de base F et d’une
classe de conjugaison semi-simple O dans ˜
G(F ). On énonce en 2.3 leur définition. Ces distributions sont les ingrédients globaux de la partie géométrique de la
formule des traces. Elles vérifient une formule de descente qui les ramène au cas
basique où ˜
G = G n’est pas tordu et où O est simplement la classe {1} (dans ce
cas, A
˜
G (V, O, ω) est exactement la «partie unipotente» de la formule des traces).
Dans la section 3, on présente la théorie de l’endoscopie dans le cadre global.
La différence essentielle avec le cas local développé en [I] est que, dans le cas
global, pour une donnée endoscopique G
relevante, il y a un facteur de transfert
canonique. La situation tordue pose ici un problème technique. Usuellement, la
définition d’un tel facteur utilise un point δ ∈ ˜
G
(F ), assez régulier, qui se transfère
en un élément γ v ∈ ˜
G(F v ) pour toute place v de F . Dans le cas non tordu, un tel
point existe si G
est relevante. Ce n’est plus vrai dans le cas tordu. On dit que
G
est relevante si et seulement ˜
G
(F ) = ∅ et la donnée locale G
v est relevante
pour toute place v. On a posé cette définition parce que c’est la seule notion que
l’on sache contrôler. Or cela n’assure pas l’existence d’un δ ∈ ˜
G
(F ) vérifiant les
propriétés ci-dessus. Il est possible que les données G
pour lesquelles il n’existe
pas de tel δ puissent être éliminées du processus de stabilisation mais cela ne nous
paraît pas clair. On a plutôt choisi de donner une définition du facteur de transfert
global sous la seule hypothèse de relevance telle que définie ci-dessus. D’abord, en
inspectant les définitions de Kottwitz–Shelstad ou de Labesse, on voit que l’on n’a
pas vraiment besoin d’un δ comme ci-dessus. Il suffit qu’il existe un sous-tore tordu
maximal ˜
T
de ˜
G
, défini sur F , de sorte que, pour toute place v, il existe un élément
δ v ∈ ˜
T
(F v ) assez régulier qui se transfère en un élément γ v ∈ ˜
G(F v ). Même cette
propriété moins forte n’est pas assurée par notre hypothèse de relevance. Mais on
peut plonger ˜
G et ˜
G
dans des espaces plus gros qui satisfont cette propriété. On
définit alors le facteur de transfert comme la restriction à notre couple ( ˜
G
, ˜
G) du
facteur de transfert défini sur ces espaces plus gros. Cela est fait au paragraphe 3.9.
Dans la section 4, on définit les avatars stables et endoscopiques des intégrales
orbitales pondérées invariantes. On énonce le résultat principal en 4.5, à savoir
qu’une intégrale orbitale pondérée endoscopique est en fait une intégrale orbitale
pondérée (ω-équivariante) tout court. Ce résultat se déduit des analogues locaux
énoncés en [II] et [V], qui restent à démontrer.
La section 5 énonce la version stable de la partie géométrique de la formule
des traces. Les distributions A
˜
G (V, O, ω) sont remplacées par des distributions
SA
˜
G (V, O), où cette fois, O est une classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ). Ces
distributions doivent être stables. Le théorème 5.4 exprime que les coefficients initiaux A
˜
G (V, O, ω) se récupèrent comme somme de transferts de tels coefficients
SA
G
(V, O
G
), où G
décrit les données endoscopiques de (G, ˜
G, a) qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . Le théorème principal 5.10 exprime
que la partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante se récupère de