Chapitre VI
La partie géométrique de la formule
des traces tordue
Introduction
Ce chapitre énonce les résultats que l’on a en vue concernant la partie géométrique
de la formule des traces tordue. Ce sont les généralisations au cas tordu des théorèmes énoncés par Arthur dans son premier article sur la stabilisation ([18]), du
moins de ceux qui concernent cette partie géométrique. Nous ne démontrons pas
ici les résultats en question. Ils seront démontrés plus tard en reprenant les méthodes des deux autres articles d’Arthur sur le sujet. On doit dire que généraliser
au cas tordu les constructions d’Arthur pose certains problèmes techniques, mais
aucun problème conceptuel. C’est-à-dire que l’essentiel est dû à Arthur lui-même.
La première section présente le cadre global dans lequel on se place. On
considère un corps de nombres F , un groupe réductif connexe G défini sur F ,
un espace tordu ˜
G sous G et un caractère ω de G(A) trivial sur G(F ), où A est
l’anneau des adèles de F . On définit les intégrales orbitales pondérées globales,
certaines de leurs variantes et on énonce les formules de descente qui les relient à
leurs avatars locaux.
La section 2 énonce la partie géométrique de la formule des traces tordue
ω-équivariante. On énonce cette formule d’une façon un peu plus abstraite qu’Arthur. Il est traditionnel et naturel de l’écrire comme une somme avec coefficients
d’intégrales orbitales I
˜
G (γ, ω, f ) ou plus généralement d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). La présence du caractère ω perturbe déjà la
situation : les avatars locaux des intégrales I
˜
G (γ, ω, f ) ne dépendent pas seulement de la classe de conjugaison de γ mais bien du point base γ choisi. Surtout,
comme on le sait, les coefficients dont sont affectés ces intégrales ne sont à ce jour
pas connus explicitement (ils sont connus si γ est fortement régulier, mais pas si γ
contient une partie unipotente). On a choisi de regrouper les intégrales I
˜
G (γ, ω, f ),
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_1
589
La partie géométrique de la formule
des traces tordue
Introduction
Ce chapitre énonce les résultats que l’on a en vue concernant la partie géométrique
de la formule des traces tordue. Ce sont les généralisations au cas tordu des théorèmes énoncés par Arthur dans son premier article sur la stabilisation ([18]), du
moins de ceux qui concernent cette partie géométrique. Nous ne démontrons pas
ici les résultats en question. Ils seront démontrés plus tard en reprenant les méthodes des deux autres articles d’Arthur sur le sujet. On doit dire que généraliser
au cas tordu les constructions d’Arthur pose certains problèmes techniques, mais
aucun problème conceptuel. C’est-à-dire que l’essentiel est dû à Arthur lui-même.
La première section présente le cadre global dans lequel on se place. On
considère un corps de nombres F , un groupe réductif connexe G défini sur F ,
un espace tordu ˜
G sous G et un caractère ω de G(A) trivial sur G(F ), où A est
l’anneau des adèles de F . On définit les intégrales orbitales pondérées globales,
certaines de leurs variantes et on énonce les formules de descente qui les relient à
leurs avatars locaux.
La section 2 énonce la partie géométrique de la formule des traces tordue
ω-équivariante. On énonce cette formule d’une façon un peu plus abstraite qu’Arthur. Il est traditionnel et naturel de l’écrire comme une somme avec coefficients
d’intégrales orbitales I
˜
G (γ, ω, f ) ou plus généralement d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). La présence du caractère ω perturbe déjà la
situation : les avatars locaux des intégrales I
˜
G (γ, ω, f ) ne dépendent pas seulement de la classe de conjugaison de γ mais bien du point base γ choisi. Surtout,
comme on le sait, les coefficients dont sont affectés ces intégrales ne sont à ce jour
pas connus explicitement (ils sont connus si γ est fortement régulier, mais pas si γ
contient une partie unipotente). On a choisi de regrouper les intégrales I
˜
G (γ, ω, f ),
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_1
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