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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
galoisienne sur ˆ
S 1 est un peu compliquée, les formules sont les mêmes que dans
le cas local. On a aussi ˆ
U = ( ˆ
T sc × ˆ
T sc )/ diag(Z( ˆ
G SC )). On a un diagramme
commutatif évident
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→
ˆ
U
↓
↓
ˆ
T 1 × ˆ
T 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad
d’où un homomorphisme
H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → H
1,0 (W F ; ( ˆ
T 1 × ˆ
T 1 )
1− ˆ
θ
→ ( ˆ
T ad × ˆ
T ad )).
En copiant les définitions du cas local, on définit un élément
( ˆ
V 1 , s) ∈ H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
et on constate que son image dans H
1,0 (W F ; ( ˆ
T 1 × ˆ
T 1 )
1− ˆ
θ
→ ( ˆ
T ad × ˆ
T ad )) est égale à
(( ˆ
V T1 , ˆ
V T 1 ), (s ad , s ad )).
Notons (V, ν 1 ) l’image de
((V T , V
−1
T ), (ν 1 , ν
−1
1 ))
dans H
1,0 (A F /F ; U
1−θ
→ S 1 ) par l’homomorphisme dual du précédent. Par compatibilité des produits, on a
Δ imp (δ 1 , γ)Δ imp (δ 1 , γ)
−1 =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
−1
.
Le terme (V, ν 1 ) se relève en un élément de H
1,0 (Γ F ; U (A ¯
F )
1−θ
→ S 1 (A ¯
F )), défini
exactement par les mêmes formules (après les modifications apportées ci-dessus).
Cet élément appartient en fait à H
1,0 (Gal(E/F ); U (A E )
1−θ
→ S 1 (A E )), si E désigne
maintenant une extension finie de F vérifiant les mêmes propriétés que plus haut
mais pour nos deux ensembles de données. Pour toute place v ∈ Val(F ), cet élément relevé définit un élément (V v , ν 1,v ) ∈ H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ S 1 ). De même, ( ˆ
V 1 , s)
se restreint en un élément ( ˆ
V 1,v , s v ) ∈ H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ). La compatibilité des
produits et le lemme C.1.B de [48] assurent que
(12) on a l’égalité
(V v , ν 1,v ), ( ˆ
V 1,v , s v )
= 1 pour presque tout v ;
(13)
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
=
v∈Val(F )
(V v , ν 1,v ), ( ˆ
V 1,v , s v )
.
On a aussi
Δ II (δ, γ) =
v∈Val(F )
Δ II (δ v , γ v )