VI.3. Endoscopie
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et les termes du produit sont presque tous égaux à 1. On en déduit
Δ(δ 1 , γ)Δ(δ 1 , γ)
−1 =
v∈ValF
Δ II (δ v , γ v )Δ II (δ v , γ v )
−1
(V v , ν 1,v ), ( ˆ
V 1,v , s v )
−1
.
Pour achever la preuve des deux premières assertions de l’énoncé, il suffit de prouver que, pour tout v, on a l’égalité
Δ II (δ v , γ v )Δ II (δ v , γ v )
−1
(V v , ν 1,v ), ( ˆ
V 1,v , s v )
𨐾 −1
= Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ).
Pour définir le membre de droite, on utilise les paires de Borel épinglées E w =
ad g
−1
w
(E
∗ ) et E w = ad g −1
w
(E
∗ ), où w est encore la place de E fixée au-dessus de
v. On choisit u Ew (σ) = g
−1
w u E ∗ (σ)σ(g w ) et u E w (σ) = g
−1
w
u E ∗ (σ)σ(g w ) pour tout
σ ∈ Γ Fv . On constate alors que les deux membres de l’égalité ci-dessus sont définis
de la même façon, après l’identification que l’on a faite des tores ad g −1 (T ) et
ad g −1 (T ) à T et T . Cela prouve les deux premières assertions de l’énoncé.
L’assertion (iii) s’en déduit : puisque les termes
Δ 1 (δ 1 , γ) et Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v )
ne dépendent pas des données auxiliaires utilisées pour définir Δ 1 (δ 1 , γ), ce dernier
terme n’en dépend pas non plus.
Revenons à notre tore T
. Il reste à vérifier que l’on peut choisir des éléments δ
et γ vérifiant les conditions (1) et (2). On introduit les mêmes données qu’au début
du paragraphe, en particulier le corps E. On modifie la définition de l’ensemble
V
. On note maintenant V
un ensemble fini de places de F , contenant V et les
places ramifiées dans E, de sorte que, pour tout v ∈ V
et pour toute place w
de
E au-dessus de v, les conditions (9) et (10) soient vérifiées, ainsi que les conditions
(14) et (15) ci-dessous. Pour v ∈ V telle que v soit non ramifiée dans E, les tores
T et T
sont non ramifiés en v et ont donc une structure naturelle sur o v . On note
T v = T × ov F v la fibre de T sur F v . Un élément de Σ(T ) est aussi un caractère de
ce tore. On impose
(14) l’image naturelle e
∈ Z( ˜
G
) ⊂ ˜
G
de e appartient à ˜
K
w et T
(o w ) est inclus
dans K
w ;
(15) soit t 0 ∈ T (o w ) ; alors il existe t ∈ T (o v )t 0 dont la réduction t ∈ T v (E w )
vérifie N α(t) = ±1 pour tout α ∈ Σ(T ).
La condition (14) est satisfaite presque partout. Il faut montrer qu’il en est
de même de (15). Il s’agit de montrer que, pour presque tout v, T v (F v ) n’est
pas contenu dans la réunion sur α ∈ Σ(T ) et = ±1 des sous-ensembles {t ∈
T v (F v ); N α(tt 0 ) = }, où t 0 est la réduction de t 0 . Notons d la dimension de
T et q v le nombre d’éléments de F v . Il existe c > 0 indépendant de v tel que
le nombre d’éléments de T v (F v ) soit au moins égal à cq
d
v . Il suffit de démontrer
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et les termes du produit sont presque tous égaux à 1. On en déduit
Δ(δ 1 , γ)Δ(δ 1 , γ)
−1 =
v∈ValF
Δ II (δ v , γ v )Δ II (δ v , γ v )
−1
(V v , ν 1,v ), ( ˆ
V 1,v , s v )
−1
.
Pour achever la preuve des deux premières assertions de l’énoncé, il suffit de prouver que, pour tout v, on a l’égalité
Δ II (δ v , γ v )Δ II (δ v , γ v )
−1
(V v , ν 1,v ), ( ˆ
V 1,v , s v )
𨐾 −1
= Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ).
Pour définir le membre de droite, on utilise les paires de Borel épinglées E w =
ad g
−1
w
(E
∗ ) et E w = ad g −1
w
(E
∗ ), où w est encore la place de E fixée au-dessus de
v. On choisit u Ew (σ) = g
−1
w u E ∗ (σ)σ(g w ) et u E w (σ) = g
−1
w
u E ∗ (σ)σ(g w ) pour tout
σ ∈ Γ Fv . On constate alors que les deux membres de l’égalité ci-dessus sont définis
de la même façon, après l’identification que l’on a faite des tores ad g −1 (T ) et
ad g −1 (T ) à T et T . Cela prouve les deux premières assertions de l’énoncé.
L’assertion (iii) s’en déduit : puisque les termes
Δ 1 (δ 1 , γ) et Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v )
ne dépendent pas des données auxiliaires utilisées pour définir Δ 1 (δ 1 , γ), ce dernier
terme n’en dépend pas non plus.
Revenons à notre tore T
. Il reste à vérifier que l’on peut choisir des éléments δ
et γ vérifiant les conditions (1) et (2). On introduit les mêmes données qu’au début
du paragraphe, en particulier le corps E. On modifie la définition de l’ensemble
V
. On note maintenant V
un ensemble fini de places de F , contenant V et les
places ramifiées dans E, de sorte que, pour tout v ∈ V
et pour toute place w
de
E au-dessus de v, les conditions (9) et (10) soient vérifiées, ainsi que les conditions
(14) et (15) ci-dessous. Pour v ∈ V telle que v soit non ramifiée dans E, les tores
T et T
sont non ramifiés en v et ont donc une structure naturelle sur o v . On note
T v = T × ov F v la fibre de T sur F v . Un élément de Σ(T ) est aussi un caractère de
ce tore. On impose
(14) l’image naturelle e
∈ Z( ˜
G
) ⊂ ˜
G
de e appartient à ˜
K
w et T
(o w ) est inclus
dans K
w ;
(15) soit t 0 ∈ T (o w ) ; alors il existe t ∈ T (o v )t 0 dont la réduction t ∈ T v (E w )
vérifie N α(t) = ±1 pour tout α ∈ Σ(T ).
La condition (14) est satisfaite presque partout. Il faut montrer qu’il en est
de même de (15). Il s’agit de montrer que, pour presque tout v, T v (F v ) n’est
pas contenu dans la réunion sur α ∈ Σ(T ) et = ±1 des sous-ensembles {t ∈
T v (F v ); N α(tt 0 ) = }, où t 0 est la réduction de t 0 . Notons d la dimension de
T et q v le nombre d’éléments de F v . Il existe c > 0 indépendant de v tel que
le nombre d’éléments de T v (F v ) soit au moins égal à cq
d
v . Il suffit de démontrer