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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
qu’il existe c
> 0 indépendant de v tel que chacun des sous-ensembles ci-dessus
ait un nombre d’éléments au plus égal à c
q
d−1
v
. Considérons le sous-ensemble
{t ∈ T v (F v ); N α(tt 0 ) = }. Il peut être vide. Sinon, il est en bijection avec {t ∈
T v (F v ); N α(t) = 1}, ou encore avec
{t ∈ T v (F v ); ∀σ ∈ Gal(E w /F v ), (N σα)(t) = 1}.
Introduisons le tore S sur F v qui est la restriction des scalaires du tore multiplicatif
G m sur E w . L’homomorphisme
¯
τ : T v ( ¯
F v ) → S( ¯
F v ) =
σ∈Gal(E w /Fv )
¯
F
×
v
t
→
((N σα)(t)) σ∈Gal(E w /Fv)
est défini sur F v . L’ensemble précédent est le noyau de l’homomorphisme
τ : T v (F v ) → S(F v ).
On montre aisément que le nombre de composantes connexes du noyau de ¯
τ est
borné par un nombre qui ne dépend que de l’homomorphisme X ∗ (T v ) → X ∗ (S)
déduit de ¯
τ et de la structure de ces Gal(E w /F v )-modules. De même, la composante neutre de ce noyau est un tore défini sur F v et de dimension au plus d − 1,
dont la structure ne dépend que des mêmes données. Or ces données ne varient
que dans un ensemble fini, car le groupe Gal(E w /F v ) est lui-même toujours un
sous-groupe de Gal(E/F ). Il en résulte que le nombre d’éléments du noyau est
bien borné par c
q
d−1
v
pour un c
> 0 indépendant de v. Cela prouve que (15) est
vérifié pour presque tout v.
Soit v ∈ V
, notons w la restriction de ¯
v à E. Pour tout g ∈ G, on note g ad
son image dans G AD . D’après (10), l’application σ → x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ) =
x ad u E ∗ ,ad (σ)σ(x ad )
−1 est un cocycle de Gal(E w /F v ) dans K w,ad . Par le théorème
de Lang, un tel cocycle est un cobord (cf. [79] lemme 4.2(ii)). On peut fixer y ad ∈
K w,ad tel que x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ) = y ad σ(y ad )
−1 pour tout σ ∈ Gal(E w /F v ).
Puisque K w est le groupe hyperspécial associé à E
∗ d’après (9), on a T
∗
ad (o w ) =
T ad (o w ) ⊂ K w,ad et la décomposition d’Iwasawa montre que l’application
T ad (o w ) × K w,sc → K w,ad
(t, x)
→ tπ ad (x)
est surjective. On relève y ad en (t, g w ) ∈ T ad (o w ) × K w,sc . On a alors
x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ) = tπ ad (g w σ(g w )
−1 )σ(t)
−1 ,
d’où
t
−1 x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)σ(t) = π ad (g w σ(g w )
−1 ).
On a l’égalité
x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)σ(t) = σ T (t)x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ),
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
qu’il existe c
> 0 indépendant de v tel que chacun des sous-ensembles ci-dessus
ait un nombre d’éléments au plus égal à c
q
d−1
v
. Considérons le sous-ensemble
{t ∈ T v (F v ); N α(tt 0 ) = }. Il peut être vide. Sinon, il est en bijection avec {t ∈
T v (F v ); N α(t) = 1}, ou encore avec
{t ∈ T v (F v ); ∀σ ∈ Gal(E w /F v ), (N σα)(t) = 1}.
Introduisons le tore S sur F v qui est la restriction des scalaires du tore multiplicatif
G m sur E w . L’homomorphisme
¯
τ : T v ( ¯
F v ) → S( ¯
F v ) =
σ∈Gal(E w /Fv )
¯
F
×
v
t
→
((N σα)(t)) σ∈Gal(E w /Fv)
est défini sur F v . L’ensemble précédent est le noyau de l’homomorphisme
τ : T v (F v ) → S(F v ).
On montre aisément que le nombre de composantes connexes du noyau de ¯
τ est
borné par un nombre qui ne dépend que de l’homomorphisme X ∗ (T v ) → X ∗ (S)
déduit de ¯
τ et de la structure de ces Gal(E w /F v )-modules. De même, la composante neutre de ce noyau est un tore défini sur F v et de dimension au plus d − 1,
dont la structure ne dépend que des mêmes données. Or ces données ne varient
que dans un ensemble fini, car le groupe Gal(E w /F v ) est lui-même toujours un
sous-groupe de Gal(E/F ). Il en résulte que le nombre d’éléments du noyau est
bien borné par c
q
d−1
v
pour un c
> 0 indépendant de v. Cela prouve que (15) est
vérifié pour presque tout v.
Soit v ∈ V
, notons w la restriction de ¯
v à E. Pour tout g ∈ G, on note g ad
son image dans G AD . D’après (10), l’application σ → x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ) =
x ad u E ∗ ,ad (σ)σ(x ad )
−1 est un cocycle de Gal(E w /F v ) dans K w,ad . Par le théorème
de Lang, un tel cocycle est un cobord (cf. [79] lemme 4.2(ii)). On peut fixer y ad ∈
K w,ad tel que x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ) = y ad σ(y ad )
−1 pour tout σ ∈ Gal(E w /F v ).
Puisque K w est le groupe hyperspécial associé à E
∗ d’après (9), on a T
∗
ad (o w ) =
T ad (o w ) ⊂ K w,ad et la décomposition d’Iwasawa montre que l’application
T ad (o w ) × K w,sc → K w,ad
(t, x)
→ tπ ad (x)
est surjective. On relève y ad en (t, g w ) ∈ T ad (o w ) × K w,sc . On a alors
x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ) = tπ ad (g w σ(g w )
−1 )σ(t)
−1 ,
d’où
t
−1 x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)σ(t) = π ad (g w σ(g w )
−1 ).
On a l’égalité
x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)σ(t) = σ T (t)x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ),