VI.3. Endoscopie
663
d’où
t
−1 σ T (t)x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)π ad (σ(g w )g
−1
w ) = 1.
A fortiori,
x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)π ad (σ(g w )g
−1
w ) ∈ T ad (o w ),
d’où il résulte que xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g w )g
−1
w ∈ T sc (o w ). Notons t sc (σ) cet élément. Posons E w = ad g
−1
w
(E
∗ ) et notons (B w , T v ) la paire de Borel sous-jacente à
E w . Par le même calcul que dans la preuve de (6), la relation précédente entraîne
que T v est défini sur F v et que l’homomorphisme ξ Bw ,Tv,B ,T déduit des paires
(B w , T v ) et (B
, T
) est équivariant pour les actions de Γ ¯
v . Posons e v = ad g
−1
w
(e).
C’est un élément de Z( ˜
G, E w ; E w ). D’après (10), c’est aussi un élément de ˜
K w .
Pour σ ∈ Γ Fv , on a les égalités
σ(e v ) = ad σ(g
−1
w ) ◦σ(e) = ad σ(gw ) −1 u E ∗ (σ) −1 σ G ∗ (x)x −1 ◦ ad xσ G ∗ (x) −1 u E ∗ (σ) ◦σ(e).
On a ad u E ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e. Puisque x ∈ G
θ
∗
SC (E w ), l’élément xσ G ∗ (x)
−1 commute à e et aussi, bien sûr, à z(σ). Donc
ad xσ G ∗ (x) −1 u E ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e.
De plus
σ(g w )
−1 u E ∗ (σ)
−1 σ G ∗ (x)x
−1 = g
−1
w t sc (σ)
−1 = t sc,w (σ)
−1 g
−1
w ,
où t sc,w (σ) = ad g
−1
w
(t sc (σ)) ∈ T v (o w ). D’où
σ(e v ) = z(σ)
−1 ad tsc,w(σ) −1 g
−1
w
(e)
= z(σ)
−1 t sc,w (σ)
−1 e w t sc,w (σ) = z(σ)
−1 (θ − 1)(t sc,w (σ))e v .
L’application σ → z(σ)
−1 (θ − 1)(t sc,w (σ)) prend ses valeurs dans T v (o w ) et la
relation ci-dessus implique que c’est un cocycle de Gal(E w /F v ) à valeurs dans ce
groupe. Un tel cocycle est forcément un cobord. On peut donc fixer t 0 ∈ T v (o w )
tel que σ(t 0 ) = t 0 z(σ)(1 − θ)(t sc (σ)) pour tout σ. Alors t 0 e v ∈ ˜
G(F v ). On peut
multiplier t 0 par un élément de T v (o v ) de sorte que le produit t vérifie la conclusion
de (15) transportée à T v par l’isomorphisme ad g
−1
w
. Cette condition implique que
te v est régulier. En multipliant encore t par un élément de T v (o v ) assez voisin
de l’origine, on peut assurer que te v est fortement régulier. Posons γ v = te v et
δ v = ξ Bw ,Tv,B ,T (t)e
, où e
∈ Z( ˜
G
) est l’image naturelle de e (ou e v , c’est pareil).
Les constructions impliquent que γ v ∈ ˜
K v , δ v ∈ ˜
K
v et (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v ) est
un diagramme. Le choix de t implique que la condition (2) est satisfaite. Pour
v ∈ V
, on a donc construit des éléments vérifiant (1) et (2).
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d’où
t
−1 σ T (t)x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)π ad (σ(g w )g
−1
w ) = 1.
A fortiori,
x ad σ G ∗ (x ad )
−1 u E ∗ ,ad (σ)π ad (σ(g w )g
−1
w ) ∈ T ad (o w ),
d’où il résulte que xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g w )g
−1
w ∈ T sc (o w ). Notons t sc (σ) cet élément. Posons E w = ad g
−1
w
(E
∗ ) et notons (B w , T v ) la paire de Borel sous-jacente à
E w . Par le même calcul que dans la preuve de (6), la relation précédente entraîne
que T v est défini sur F v et que l’homomorphisme ξ Bw ,Tv,B ,T déduit des paires
(B w , T v ) et (B
, T
) est équivariant pour les actions de Γ ¯
v . Posons e v = ad g
−1
w
(e).
C’est un élément de Z( ˜
G, E w ; E w ). D’après (10), c’est aussi un élément de ˜
K w .
Pour σ ∈ Γ Fv , on a les égalités
σ(e v ) = ad σ(g
−1
w ) ◦σ(e) = ad σ(gw ) −1 u E ∗ (σ) −1 σ G ∗ (x)x −1 ◦ ad xσ G ∗ (x) −1 u E ∗ (σ) ◦σ(e).
On a ad u E ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e. Puisque x ∈ G
θ
∗
SC (E w ), l’élément xσ G ∗ (x)
−1 commute à e et aussi, bien sûr, à z(σ). Donc
ad xσ G ∗ (x) −1 u E ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e.
De plus
σ(g w )
−1 u E ∗ (σ)
−1 σ G ∗ (x)x
−1 = g
−1
w t sc (σ)
−1 = t sc,w (σ)
−1 g
−1
w ,
où t sc,w (σ) = ad g
−1
w
(t sc (σ)) ∈ T v (o w ). D’où
σ(e v ) = z(σ)
−1 ad tsc,w(σ) −1 g
−1
w
(e)
= z(σ)
−1 t sc,w (σ)
−1 e w t sc,w (σ) = z(σ)
−1 (θ − 1)(t sc,w (σ))e v .
L’application σ → z(σ)
−1 (θ − 1)(t sc,w (σ)) prend ses valeurs dans T v (o w ) et la
relation ci-dessus implique que c’est un cocycle de Gal(E w /F v ) à valeurs dans ce
groupe. Un tel cocycle est forcément un cobord. On peut donc fixer t 0 ∈ T v (o w )
tel que σ(t 0 ) = t 0 z(σ)(1 − θ)(t sc (σ)) pour tout σ. Alors t 0 e v ∈ ˜
G(F v ). On peut
multiplier t 0 par un élément de T v (o v ) de sorte que le produit t vérifie la conclusion
de (15) transportée à T v par l’isomorphisme ad g
−1
w
. Cette condition implique que
te v est régulier. En multipliant encore t par un élément de T v (o v ) assez voisin
de l’origine, on peut assurer que te v est fortement régulier. Posons γ v = te v et
δ v = ξ Bw ,Tv,B ,T (t)e
, où e
∈ Z( ˜
G
) est l’image naturelle de e (ou e v , c’est pareil).
Les constructions impliquent que γ v ∈ ˜
K v , δ v ∈ ˜
K
v et (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v ) est
un diagramme. Le choix de t implique que la condition (2) est satisfaite. Pour
v ∈ V
, on a donc construit des éléments vérifiant (1) et (2).