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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). On suppose
qu’elle vérifie l’hypothèse (Hyp) du paragraphe précédent. Soit V un ensemble fini
de places de F contenant V ram (G
). On a défini l’espace C
∞
c (G
V ) en 3.3. Pour
v ∈ V , on a défini en [I] 2.5 un espace C
∞
c (G
v ) par une tout autre méthode.
Proposition. Il existe un isomorphisme canonique
C
∞
c (G
V ) ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ).
Preuve. Considérons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V non ramifiées hors de V . Pour v ∈ Val(F )−V , le choix des espaces hyperspéciaux détermine
un facteur de transfert Δ 1,v , cf. [I] 6.3. Pour v ∈ V , on ne sait pas normaliser le facteur de transfert. Mais on peut normaliser le produit sur v ∈ V de ces facteurs. En
effet, construisons des éléments comme dans le paragraphe précédent, et il est plus
simple ici de les souligner. On a donc des éléments δ 1 = (δ 1,v ) v∈Val(F ) ∈ ˜
G
1 (A F ),
γ = (γ v ) v∈Val(F ) ∈ ˜
G(A F ) et le facteur Δ 1 (δ 1 , γ). Soient δ 1,V = (δ 1,v ) v∈V ∈
˜
G
1 (F V ), γ V = (γ v ) v∈V ∈ ˜
G(F V ). Supposons (δ 1,V , γ V ) ∈ D 1,V , on entend par là
que (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,v pour tout v ∈ V . On pose
Δ 1,V (δ 1,V , γ V ) = Δ 1 (δ 1 , γ)
v ∈V
Δ 1,v (δ 1,v , γ v )
−1
v∈V
Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v )
.
Il résulte des calculs du paragraphe précédent que les termes du premier produit
sont presque tous égaux à 1. Le terme ainsi défini est un facteur de transfert.
La proposition du paragraphe précédent montre qu’il ne dépend pas des données
auxiliaires δ 1 et γ.
D’après 3.3, le choix des ( ˜
K
1,v ) v ∈V permet d’identifier C
∞
c (G
V ) à
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) = ⊗ v∈V C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F v )).
D’après [I] 2.5, le choix de Δ 1,V permet d’identifier ce dernier espace à
⊗ v∈V C
∞
c (G
v ). D’où l’isomorphisme de l’énoncé. Pour qu’il soit «canonique», il suffit qu’il ne dépende pas des données auxiliaires. Considérons une autre famille G
2 ,
˜
G
2 , C 2 , ˆ
ξ 2 , ( ˜
K
2,v ) v ∈V de données auxiliaires non ramifiées hors de V . Il y a deux
isomorphismes de recollement entre les espaces C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) et C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F V )) :
celle de 3.3 utilisant les espaces hyperspéciaux ( ˜
K
1,v ) v ∈V et ( ˜
K
2,v ) v ∈V ; celle de
[I] 2.5 utilisant les facteurs de transfert Δ 1,V et Δ 2,V . On doit prouver que ce
sont les mêmes. Les deux isomorphismes f 1 → f 2 sont définis pas une formule
f 2 (δ 2,V ) = ˜
λ 12,V (δ 1,V , δ 2,V )f 1 (δ 1,V ) où δ 1,V est un élément quelconque tel que
(δ 1,V , δ 2,V ) ∈ ˜
G
12 (F V ), mais la fonction ˜
λ 12,V n’est pas a priori la même pour
les deux recollements. Notons ˜
λ 12,K,V celle pour le premier recollement et ˜
λ 12,Δ,V
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). On suppose
qu’elle vérifie l’hypothèse (Hyp) du paragraphe précédent. Soit V un ensemble fini
de places de F contenant V ram (G
). On a défini l’espace C
∞
c (G
V ) en 3.3. Pour
v ∈ V , on a défini en [I] 2.5 un espace C
∞
c (G
v ) par une tout autre méthode.
Proposition. Il existe un isomorphisme canonique
C
∞
c (G
V ) ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ).
Preuve. Considérons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V non ramifiées hors de V . Pour v ∈ Val(F )−V , le choix des espaces hyperspéciaux détermine
un facteur de transfert Δ 1,v , cf. [I] 6.3. Pour v ∈ V , on ne sait pas normaliser le facteur de transfert. Mais on peut normaliser le produit sur v ∈ V de ces facteurs. En
effet, construisons des éléments comme dans le paragraphe précédent, et il est plus
simple ici de les souligner. On a donc des éléments δ 1 = (δ 1,v ) v∈Val(F ) ∈ ˜
G
1 (A F ),
γ = (γ v ) v∈Val(F ) ∈ ˜
G(A F ) et le facteur Δ 1 (δ 1 , γ). Soient δ 1,V = (δ 1,v ) v∈V ∈
˜
G
1 (F V ), γ V = (γ v ) v∈V ∈ ˜
G(F V ). Supposons (δ 1,V , γ V ) ∈ D 1,V , on entend par là
que (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,v pour tout v ∈ V . On pose
Δ 1,V (δ 1,V , γ V ) = Δ 1 (δ 1 , γ)
v ∈V
Δ 1,v (δ 1,v , γ v )
−1
v∈V
Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v )
.
Il résulte des calculs du paragraphe précédent que les termes du premier produit
sont presque tous égaux à 1. Le terme ainsi défini est un facteur de transfert.
La proposition du paragraphe précédent montre qu’il ne dépend pas des données
auxiliaires δ 1 et γ.
D’après 3.3, le choix des ( ˜
K
1,v ) v ∈V permet d’identifier C
∞
c (G
V ) à
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) = ⊗ v∈V C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F v )).
D’après [I] 2.5, le choix de Δ 1,V permet d’identifier ce dernier espace à
⊗ v∈V C
∞
c (G
v ). D’où l’isomorphisme de l’énoncé. Pour qu’il soit «canonique», il suffit qu’il ne dépende pas des données auxiliaires. Considérons une autre famille G
2 ,
˜
G
2 , C 2 , ˆ
ξ 2 , ( ˜
K
2,v ) v ∈V de données auxiliaires non ramifiées hors de V . Il y a deux
isomorphismes de recollement entre les espaces C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) et C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F V )) :
celle de 3.3 utilisant les espaces hyperspéciaux ( ˜
K
1,v ) v ∈V et ( ˜
K
2,v ) v ∈V ; celle de
[I] 2.5 utilisant les facteurs de transfert Δ 1,V et Δ 2,V . On doit prouver que ce
sont les mêmes. Les deux isomorphismes f 1 → f 2 sont définis pas une formule
f 2 (δ 2,V ) = ˜
λ 12,V (δ 1,V , δ 2,V )f 1 (δ 1,V ) où δ 1,V est un élément quelconque tel que
(δ 1,V , δ 2,V ) ∈ ˜
G
12 (F V ), mais la fonction ˜
λ 12,V n’est pas a priori la même pour
les deux recollements. Notons ˜
λ 12,K,V celle pour le premier recollement et ˜
λ 12,Δ,V