VI.3. Endoscopie
665
celle pour le second. Soient (δ 1,V , δ 2,V ) ∈ ˜
G
12 (F V ) et (x 1 , x 2 ) ∈ G
12 (F V ). On a en
tout cas
˜
λ 12,K,V (x 1 δ 1,V , x 2 δ 2,V ) = λ 12,V (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ),
˜
λ 12,Δ,V (x 1 δ 1,V , x 2 δ 2,V ) = λ 12,V (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12,Δ,V (δ 1,V , δ 2,V ),
pour un même caractère λ 12,V de G
12 (F V ). Il suffit donc de prouver l’égalité
˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ) = ˜
λ 12,Δ,V (δ 1,V , δ 2,V ) pour un seul couple (δ 1,V , δ 2,V ). On choisit ce couple ainsi : on construit des éléments δ ∈ ˜
G
(A F ) et γ ∈ ˜
G(A F ) comme
en 3.6, on relève δ en δ 1 ∈ ˜
G
1 (A F ) et δ 2 ∈ ˜
G
2 (A F ) ; on prend pour δ 1,V et δ 2,V les
produits sur v ∈ V des composantes locales de δ 1 et δ 2 . Par définition de ˜
λ 12,Δ,V ,
on a l’égalité
(1)
Δ 2,V (δ 2,V , γ V ) = ˜
λ 12,Δ,V (δ 1,V , δ 2,V )Δ 1,V (δ 1,V , γ V ).
En 1.15, on a normalisé une fonction ˜
λ 12 sur ˜
G
12 (A) de sorte qu’elle vaille 1 sur
˜
G
12 (F ) et des fonctions ˜
λ 12,v pour v ∈ V . Par définition,
˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
v ∈V
˜
λ 12,v (δ 1,v , δ 2,v )
−1 .
On a
(2) Δ 2,v (δ 2,v , γ v ) = ˜
λ 12,v (δ 1,v , δ 2,v )Δ 1,v (δ 2,v , γ v ) pour tout v ∈ V .
En effet, avec les notations de [I] 6.3, on a l’égalité
Δ 2,v (δ 2,v , γ v ) = ˜
λ ζ1 (δ 1,v ) ˜
λ ζ2 (δ 2,v )
−1 Δ 1,v (δ 1,v , γ v ).
Il suffit de comparer les définitions pour constater que
˜
λ ζ1 (δ 1,v ) ˜
λ ζ2 (δ 2,v )
−1 = ˜
λ 12,v (δ 1,v , δ 2,v ).
D’où (2). Alors
˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
v ∈V
Δ 2,v (δ 2,v , γ v )
−1 Δ 1,v (δ 1,v , γ v )
= ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 2 (δ 2 , γ)
−1 Δ 1 (δ 1 , γ)Δ 2,V (δ 2,V , γ V )Δ 1,V (δ 1,V , γ V )
−1 .
En comparant avec (1), il reste à montrer l’égalité
(3)
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ).
La démonstration est similaire à celle du lemme [I] 2.5, nous n’en donnons que le
squelette. De façon générale, pour un groupe réductif connexe H défini sur F , un
élément de H
1 (W F , Z( ˆ
H)) détermine non seulement un caractère de H(A F ) trivial
sur H(F ), mais plus généralement un caractère du groupe (H(A ¯
F )/Z(H; ¯
F ))
ΓF ,
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celle pour le second. Soient (δ 1,V , δ 2,V ) ∈ ˜
G
12 (F V ) et (x 1 , x 2 ) ∈ G
12 (F V ). On a en
tout cas
˜
λ 12,K,V (x 1 δ 1,V , x 2 δ 2,V ) = λ 12,V (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ),
˜
λ 12,Δ,V (x 1 δ 1,V , x 2 δ 2,V ) = λ 12,V (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12,Δ,V (δ 1,V , δ 2,V ),
pour un même caractère λ 12,V de G
12 (F V ). Il suffit donc de prouver l’égalité
˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ) = ˜
λ 12,Δ,V (δ 1,V , δ 2,V ) pour un seul couple (δ 1,V , δ 2,V ). On choisit ce couple ainsi : on construit des éléments δ ∈ ˜
G
(A F ) et γ ∈ ˜
G(A F ) comme
en 3.6, on relève δ en δ 1 ∈ ˜
G
1 (A F ) et δ 2 ∈ ˜
G
2 (A F ) ; on prend pour δ 1,V et δ 2,V les
produits sur v ∈ V des composantes locales de δ 1 et δ 2 . Par définition de ˜
λ 12,Δ,V ,
on a l’égalité
(1)
Δ 2,V (δ 2,V , γ V ) = ˜
λ 12,Δ,V (δ 1,V , δ 2,V )Δ 1,V (δ 1,V , γ V ).
En 1.15, on a normalisé une fonction ˜
λ 12 sur ˜
G
12 (A) de sorte qu’elle vaille 1 sur
˜
G
12 (F ) et des fonctions ˜
λ 12,v pour v ∈ V . Par définition,
˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
v ∈V
˜
λ 12,v (δ 1,v , δ 2,v )
−1 .
On a
(2) Δ 2,v (δ 2,v , γ v ) = ˜
λ 12,v (δ 1,v , δ 2,v )Δ 1,v (δ 2,v , γ v ) pour tout v ∈ V .
En effet, avec les notations de [I] 6.3, on a l’égalité
Δ 2,v (δ 2,v , γ v ) = ˜
λ ζ1 (δ 1,v ) ˜
λ ζ2 (δ 2,v )
−1 Δ 1,v (δ 1,v , γ v ).
Il suffit de comparer les définitions pour constater que
˜
λ ζ1 (δ 1,v ) ˜
λ ζ2 (δ 2,v )
−1 = ˜
λ 12,v (δ 1,v , δ 2,v ).
D’où (2). Alors
˜
λ 12,K,V (δ 1,V , δ 2,V ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
v ∈V
Δ 2,v (δ 2,v , γ v )
−1 Δ 1,v (δ 1,v , γ v )
= ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 2 (δ 2 , γ)
−1 Δ 1 (δ 1 , γ)Δ 2,V (δ 2,V , γ V )Δ 1,V (δ 1,V , γ V )
−1 .
En comparant avec (1), il reste à montrer l’égalité
(3)
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ).
La démonstration est similaire à celle du lemme [I] 2.5, nous n’en donnons que le
squelette. De façon générale, pour un groupe réductif connexe H défini sur F , un
élément de H
1 (W F , Z( ˆ
H)) détermine non seulement un caractère de H(A F ) trivial
sur H(F ), mais plus généralement un caractère du groupe (H(A ¯
F )/Z(H; ¯
F ))
ΓF ,