666
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
trivial sur (H( ¯
F )/Z(H; ¯
F ))
ΓF = H AD (F ). Avec les notations de [I] 2.5, le cocycle w → (ζ 1 (w), ζ 2 (w)
−1 ) de W F dans Z( ˆ
G
12 ) détermine donc un caractère
de (G
12 (A ¯
F )/Z(G
12 ; ¯
F ))
ΓF , trivial sur G
12,AD (F ). Notons ce caractère ˜
λ 12 . L’ensemble ˜
G
12 (A F ) s’envoie naturellement dans (G
12 (A ¯
F )/Z(G
12 ; ¯
F ))
ΓF . En effet,
pour (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (A F ), on choisit (e
1 , e
2 ) ∈ Z( ˜
G
12 ; ¯
F ), on écrit δ 1 = x 1 e
1 ,
δ 2 = x 2 e
2 avec (x 1 , x 2 ) ∈ G
12 (A ¯
F ). L’image de (x 1 , x 2 ) dans G
12 (A ¯
F )/Z(G
12 ; ¯
F )
ne dépend pas des choix de e
1 et e
2 et est invariante par Γ F . L’application cherchée est (δ 1 , δ 2 ) → (x 1 , x 2 ). Par cette application, ˜
λ 12 devient une fonction sur
˜
G
12 (A F ). Les mêmes calculs qu’en [I] 2.5 conduisent à l’égalité
(4)
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ).
Or il résulte des constructions que les fonctions ˜
λ 12 et ˜
λ 12 se transforment selon
le même caractère λ 12 de G
12 (A F ). Par définition, ˜
λ 12 vaut 1 sur ˜
G
12 (F ) et la
construction ci-dessus montre que ˜
λ 12 vérifie la même propriété. Les deux fonctions
sont donc égales et l’égalité (4) équivaut à (3).
VI.3.8 Une construction auxiliaire
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Soit (H, ˜
H, b)
un triplet similaire à (G, ˜
G, a) et soit H
= (H
, H
, ˜
t) une donnée endoscopique
pour ce triplet. Considérons les hypothèses (1) à (6) suivantes.
(1) Il y a une suite exacte
1 → G
ι
→ H → D → 1
d’homomorphismes de groupes définis sur F , où D est un tore ; il y a un
plongement ˜
G
˜ ι
→ ˜
H défini sur F compatible avec ι.
Pour ˜
h ∈ ˜
H, l’automorphisme ad ˜
h se quotiente en un automorphisme de D
qui ne dépend pas de ˜
h. On le note θ D . On ne demande pas qu’il soit l’identité.
De la suite (1) se déduit une suite duale
1 → ˆ
D → ˆ
H
ˆ ι
→ ˆ
G → 1
et une projection ˆ ˜ ι :
L ˜
H →
L ˜
G compatible avec ˆ ι (on rappelle que
L ˜
G =
L G ˆ
θ,
cf. [I] 1.4). Notons ˆ
T
H le tore d’une paire de Borel de ˆ
H comme en [I] 1.4.
(2) ˆ
D ∩ ˆ
T
H, ˆ
θ,0 = ˆ
D
ˆ
θ,0 .
(3) On a l’égalité ˜
s = ˆ ˜ ι( ˜
t).
Puisque ˆ
H
et ˆ
G
sont les composantes neutres des commutants de ˜
t et ˜
s, on
a une suite exacte
1 → ˆ
D
ˆ
θ,0
→ ˆ
H
→ ˆ
G
→ 1.
(4) On a l’égalité G
= ˆ ˜ ι(H
).
Il en résulte que a est le composé de b et de la projection Z( ˆ
H) → Z( ˆ
G).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
trivial sur (H( ¯
F )/Z(H; ¯
F ))
ΓF = H AD (F ). Avec les notations de [I] 2.5, le cocycle w → (ζ 1 (w), ζ 2 (w)
−1 ) de W F dans Z( ˆ
G
12 ) détermine donc un caractère
de (G
12 (A ¯
F )/Z(G
12 ; ¯
F ))
ΓF , trivial sur G
12,AD (F ). Notons ce caractère ˜
λ 12 . L’ensemble ˜
G
12 (A F ) s’envoie naturellement dans (G
12 (A ¯
F )/Z(G
12 ; ¯
F ))
ΓF . En effet,
pour (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (A F ), on choisit (e
1 , e
2 ) ∈ Z( ˜
G
12 ; ¯
F ), on écrit δ 1 = x 1 e
1 ,
δ 2 = x 2 e
2 avec (x 1 , x 2 ) ∈ G
12 (A ¯
F ). L’image de (x 1 , x 2 ) dans G
12 (A ¯
F )/Z(G
12 ; ¯
F )
ne dépend pas des choix de e
1 et e
2 et est invariante par Γ F . L’application cherchée est (δ 1 , δ 2 ) → (x 1 , x 2 ). Par cette application, ˜
λ 12 devient une fonction sur
˜
G
12 (A F ). Les mêmes calculs qu’en [I] 2.5 conduisent à l’égalité
(4)
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ).
Or il résulte des constructions que les fonctions ˜
λ 12 et ˜
λ 12 se transforment selon
le même caractère λ 12 de G
12 (A F ). Par définition, ˜
λ 12 vaut 1 sur ˜
G
12 (F ) et la
construction ci-dessus montre que ˜
λ 12 vérifie la même propriété. Les deux fonctions
sont donc égales et l’égalité (4) équivaut à (3).
VI.3.8 Une construction auxiliaire
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Soit (H, ˜
H, b)
un triplet similaire à (G, ˜
G, a) et soit H
= (H
, H
, ˜
t) une donnée endoscopique
pour ce triplet. Considérons les hypothèses (1) à (6) suivantes.
(1) Il y a une suite exacte
1 → G
ι
→ H → D → 1
d’homomorphismes de groupes définis sur F , où D est un tore ; il y a un
plongement ˜
G
˜ ι
→ ˜
H défini sur F compatible avec ι.
Pour ˜
h ∈ ˜
H, l’automorphisme ad ˜
h se quotiente en un automorphisme de D
qui ne dépend pas de ˜
h. On le note θ D . On ne demande pas qu’il soit l’identité.
De la suite (1) se déduit une suite duale
1 → ˆ
D → ˆ
H
ˆ ι
→ ˆ
G → 1
et une projection ˆ ˜ ι :
L ˜
H →
L ˜
G compatible avec ˆ ι (on rappelle que
L ˜
G =
L G ˆ
θ,
cf. [I] 1.4). Notons ˆ
T
H le tore d’une paire de Borel de ˆ
H comme en [I] 1.4.
(2) ˆ
D ∩ ˆ
T
H, ˆ
θ,0 = ˆ
D
ˆ
θ,0 .
(3) On a l’égalité ˜
s = ˆ ˜ ι( ˜
t).
Puisque ˆ
H
et ˆ
G
sont les composantes neutres des commutants de ˜
t et ˜
s, on
a une suite exacte
1 → ˆ
D
ˆ
θ,0
→ ˆ
H
→ ˆ
G
→ 1.
(4) On a l’égalité G
= ˆ ˜ ι(H
).
Il en résulte que a est le composé de b et de la projection Z( ˆ
H) → Z( ˆ
G).