VI.3. Endoscopie
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(5) On a l’égalité V ram (H
) = V ram (H).
(6) La donnée H
est relevante et vérifie l’hypothèse (Hyp) de [I] 6.4.
Considérons pour i = 1, 2 des familles de données (H i , ˜
H i , b i ) et H
i =
(H
i , H
i , ˜
t i ) vérifiant les hypothèses (1) à (6). On peut dire que la famille indexée
par 2 domine la famille indexée par 1 s’il existe un homomorphisme injectif
κ : H 1 → H 2
et une application compatible ˜
κ : ˜
H 1 → ˜
H 2 de sorte que les hypothèses suivantes
soient vérifiées :
– les diagrammes
H 1
ι 1
G
↓ κ
ι 2
H 2
et
˜
H 1
˜ ι 1
˜
G
↓ ˜
κ
˜ ι 2
˜
H 2
sont commutatifs ;
en notant ˆ
κ :
L H 2 →
L H 1 et ˆ ˜
κ :
L ˜
H 2 →
L ˜
H 1 les applications déduites de κ,
–
L ˜
κ( ˜
t 2 ) = ˜
t 1 et ˆ
κ(H
2 ) = H
1 .
Lemme.
(i) Il existe des données vérifiant les hypothèses (1) à (6).
(ii) Pour deux familles de données (H i , ˜
H i , b i ) et H
i = (H
i , H
i , ˜
t i ) pour i = 1, 2
vérifiant toutes deux les hypothèses (1) à (6), il existe une troisième famille
vérifiant les mêmes hypothèses et les dominant toutes deux.
Preuve. Notons T
∗ le tore maximal de G muni de l’action galoisienne quasidéployée. Il est aussi muni de l’automorphisme θ
∗ .
Posons H = (G×T
∗ )/ diag − (Z(G)) où diag − est le plongement anti-diagonal
et notons ˜
H le quotient de ˜
G × T
∗ par Z(G) agissant anti-diagonalement par
multiplication à gauche. On définit deux actions de G × T
∗ sur ˜
H par
(g, t)(γ, τ)(g
, t
) = (gγg
, tτθ
∗ (t
)).
Ces actions se descendent en des actions de H sur ˜
H qui font de ˜
H un espace
tordu sous H. On a une suite exacte
1 → G
ι
→ H → D = T
∗
ad → 1
et un plongement compatible ˜ ι : ˜
G → ˜
H qui à γ associe l’image de (γ, 1) dans ˜
H.
Notons que le centre de H est (Z(G) × T
∗ )/ diag − (Z(G)) T
∗ . Donc
(7) le centre Z(H) est connexe.