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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On choisit une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G adaptée à ˜
s
et on écrit ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T , cf. [I] 1.5. Cette paire se relève en une paire de Borel
épinglée de ˆ
H. On note ˆ
T
H le tore de cette paire et encore ˆ
θ l’automorphisme de
ˆ
H associé à cette paire. Prouvons que l’égalité (2) est vérifiée. Il s’agit de prouver
que la suite
1 → ˆ
D
ˆ
θ,0
→ ˆ
T
H, ˆ
θ,0
→ ˆ
T
ˆ
θ,0
→ 1
est exacte. Il revient au même de prouver que la suite
0 → X ∗ ( ˆ
D)
ˆ
θ
→ X ∗ ( ˆ
T
H )
ˆ
θ
→ X ∗ ( ˆ
T )
ˆ
θ
→ 0
est exacte. Seule la surjectivité finale pose problème. Les actions galoisiennes n’interviennent pas ici. On peut travailler sur ¯
F et identifier T
∗ à un sous-tore de G.
Posons T
∗H = (T
∗
× T
∗ )/ diag − (Z(G)), qui est un sous-tore maximal de H. La
surjectivité à prouver équivaut à celle de l’homomorphisme
X
∗ (T
∗H )
θ
→ X
∗ (T
∗ )
θ
issue du plongement t → (t, 1) de T
∗ dans T
∗H . Mais on a aussi un homomorphisme
T
∗H
→ T
∗ défini par (t 1 , t 2 ) → t 1 t 2 dont le composé avec le précédent est l’identité
de T
∗ . Ainsi l’homomorphisme ci-dessus s’inscrit dans une suite
X
∗ (T
∗ )
θ
→ X
∗ (T
∗H )
θ
→ X
∗ (T
∗ )
θ
dont le composé est l’identité. La deuxième flèche est donc surjective, comme on
le voulait.
Pour v ∈ Val(F ), v ∈ V ram ( ˜
G, a), le groupe H est non ramifié sur F v . Puisque
G AD = H AD , le sous-groupe compact hyperspécial K v de G(F v ) détermine un tel
sous-groupe K
H
v de H(F v ). L’espace ˜
K
H
v = K
H
v ˜ ι( ˜
K v ) est un espace hyperspécial
pour ce groupe.
On choisit t ∈ ˆ
T
H d’image s dans ˆ
T et on pose ˜
t = t ˆ
θ. La relation (3) est
vérifiée. On peut identifier ˆ
T
ˆ
θ,0 au tore d’une paire de Borel épinglée de ˆ
G
. Il s’en
déduit une structure galoisienne sur ce tore, de la forme σ → σ G = ω G (σ) ◦ σ G ,
où ω G est un cocycle à valeurs dans W
θ . Ce groupe W
θ est le même pour G ou H.
On peut donc relever l’action précédente en une action σ → σ H = ω G (σ) ◦ σ H de
Γ F sur ˆ
T
H, ˆ
θ,0 . Ces actions se prolongent en des actions sur ˆ
T et ˆ
T
H . Remarquons
que ces actions sont non ramifiées en v pour v ∈ Val(F ) − V ram (G
). Notons ˆ
T
,
resp. ˆ
T
G
, ˆ
T
H , ˆ
T
H
, les tores ˆ
T , resp. ˆ
T
ˆ
θ,0 , ˆ
T
H , ˆ
T
H, ˆ
θ,0 , munis de ces structures.
On note T
G
et T
H
les tores duaux de ˆ
T
G
et ˆ
T
H
définis sur F . D’après le lemme
3.2 et la relation (3) de sa preuve, on peut prolonger le plongement ˆ
T
H
→ ˆ
H
ˆ
θ,0 ,
resp. ˆ
T
G
→ G
en des plongements
L T
H
→
ˆ
H
ˆ
θ,0
W F
(x, w) → (xh
1 (w), w),
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On choisit une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G adaptée à ˜
s
et on écrit ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T , cf. [I] 1.5. Cette paire se relève en une paire de Borel
épinglée de ˆ
H. On note ˆ
T
H le tore de cette paire et encore ˆ
θ l’automorphisme de
ˆ
H associé à cette paire. Prouvons que l’égalité (2) est vérifiée. Il s’agit de prouver
que la suite
1 → ˆ
D
ˆ
θ,0
→ ˆ
T
H, ˆ
θ,0
→ ˆ
T
ˆ
θ,0
→ 1
est exacte. Il revient au même de prouver que la suite
0 → X ∗ ( ˆ
D)
ˆ
θ
→ X ∗ ( ˆ
T
H )
ˆ
θ
→ X ∗ ( ˆ
T )
ˆ
θ
→ 0
est exacte. Seule la surjectivité finale pose problème. Les actions galoisiennes n’interviennent pas ici. On peut travailler sur ¯
F et identifier T
∗ à un sous-tore de G.
Posons T
∗H = (T
∗
× T
∗ )/ diag − (Z(G)), qui est un sous-tore maximal de H. La
surjectivité à prouver équivaut à celle de l’homomorphisme
X
∗ (T
∗H )
θ
→ X
∗ (T
∗ )
θ
issue du plongement t → (t, 1) de T
∗ dans T
∗H . Mais on a aussi un homomorphisme
T
∗H
→ T
∗ défini par (t 1 , t 2 ) → t 1 t 2 dont le composé avec le précédent est l’identité
de T
∗ . Ainsi l’homomorphisme ci-dessus s’inscrit dans une suite
X
∗ (T
∗ )
θ
→ X
∗ (T
∗H )
θ
→ X
∗ (T
∗ )
θ
dont le composé est l’identité. La deuxième flèche est donc surjective, comme on
le voulait.
Pour v ∈ Val(F ), v ∈ V ram ( ˜
G, a), le groupe H est non ramifié sur F v . Puisque
G AD = H AD , le sous-groupe compact hyperspécial K v de G(F v ) détermine un tel
sous-groupe K
H
v de H(F v ). L’espace ˜
K
H
v = K
H
v ˜ ι( ˜
K v ) est un espace hyperspécial
pour ce groupe.
On choisit t ∈ ˆ
T
H d’image s dans ˆ
T et on pose ˜
t = t ˆ
θ. La relation (3) est
vérifiée. On peut identifier ˆ
T
ˆ
θ,0 au tore d’une paire de Borel épinglée de ˆ
G
. Il s’en
déduit une structure galoisienne sur ce tore, de la forme σ → σ G = ω G (σ) ◦ σ G ,
où ω G est un cocycle à valeurs dans W
θ . Ce groupe W
θ est le même pour G ou H.
On peut donc relever l’action précédente en une action σ → σ H = ω G (σ) ◦ σ H de
Γ F sur ˆ
T
H, ˆ
θ,0 . Ces actions se prolongent en des actions sur ˆ
T et ˆ
T
H . Remarquons
que ces actions sont non ramifiées en v pour v ∈ Val(F ) − V ram (G
). Notons ˆ
T
,
resp. ˆ
T
G
, ˆ
T
H , ˆ
T
H
, les tores ˆ
T , resp. ˆ
T
ˆ
θ,0 , ˆ
T
H , ˆ
T
H, ˆ
θ,0 , munis de ces structures.
On note T
G
et T
H
les tores duaux de ˆ
T
G
et ˆ
T
H
définis sur F . D’après le lemme
3.2 et la relation (3) de sa preuve, on peut prolonger le plongement ˆ
T
H
→ ˆ
H
ˆ
θ,0 ,
resp. ˆ
T
G
→ G
en des plongements
L T
H
→
ˆ
H
ˆ
θ,0
W F
(x, w) → (xh
1 (w), w),