VI.3. Endoscopie
669
resp.
L T
G
→
G
⊂
L G
(x, w) → (xg
(w), w),
tels que, pour v ∈ V ram (G
) et w ∈ I v , on ait h
1 (w) = 1 et g
(w) = 1. Quotientons
le premier par ˆ
D ∩ ˆ
T
H
= ˆ
D ∩ ˆ
T
H, ˆ
θ,0 . On obtient un plongement
L T
G
→
ˆ
G
ˆ
θ,0
W F
(x, w) → (xˆ ι(h
1 (w)), w)
Les deux plongements précédents ne peuvent différer que par un cocycle. C’est-àdire qu’il existe un cocycle u : W F → ˆ
T tel que g
(w) = u(w)ˆ ι(h
1 (w)) pour tout
w. Pour v ∈ Val(F ) − V ram (G
) et w ∈ I v , on a u(w) = 1. En appliquant 3.2(2) à
la suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
T
H
→ ˆ
T → 1,
on voit que l’on peut relever u en un cocycle u
H : W F → ˆ
T
H tel que ˆ ι ◦ u
H = u
de sorte que, pour tous v ∈ Val(F ) − V ram (G
) et w ∈ I v , on ait u
H (w) = 1. On
pose h
(w) = u
H (w)h
1 (w). L’application
L T
H
→
L H
(x, w) → (xh
(w), w)
est alors un homomorphisme. Pour w ∈ W F , soit b(w) ∈ ˆ
H tel que
(8)
ad ˜
t (h
(w), w) = (b(w)h
(w), w).
En projetant dans
L G on voit que b(w) se projette sur l’élément a(w) de Z( ˆ
G) tel
que ad ˜
s (g
(w), w) = (a(w)g
(w), w). Donc b(w) ∈ Z( ˆ
H). L’équation (8) oblige b à
être un cocycle. On note b sa classe modulo ker
1 (W F ; Z( ˆ
H)). Elle se projette sur
a. On note ˆ
H
= Z ˆ
H ( ˜
t)
0 . L’équation (8) oblige (h
(w), w) à normaliser ˆ
H
. On note
H
le groupe engendré par ˆ
H
et les (h
(w), w) pour w ∈ W F . C’est une extension
de ˆ
H
. Elle détermine une action galoisienne sur ce groupe qui en conserve une
paire de Borel épinglée : par exemple le relèvement dans ˆ
H
d’une telle paire de ˆ
G
conservée par l’action galoisienne. On note H
le groupe quasi-déployé sur F dont
le L-groupe est ˆ
H
muni de cette structure galoisienne. Alors (H
, H
, ˜
t) est une
donnée endoscopique pour (H, ˜
H, b) et la relation (3) est vérifiée. Cette donnée
est non ramifiée en tout v ∈ Val(F ) − V ram (G
) car, pour une telle place, on a
h
(w) = 1 pour w ∈ I v . Montrons que cette donnée est relevante. Dualement à
l’homomorphisme ˆ
H
ˆ ˜ ι
→ ˆ
G
, on a un homomorphisme ι
: G
→ H
qui est défini
sur F . On a aussi des plongements compatibles Z(G) → Z(H) et Z( ˜
G) → Z( ˜
H).
L’homomorphisme ι
se prolonge en
˜ ι
: ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G) → ˜
H
= H
× Z(H) Z( ˜
H).
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resp.
L T
G
→
G
⊂
L G
(x, w) → (xg
(w), w),
tels que, pour v ∈ V ram (G
) et w ∈ I v , on ait h
1 (w) = 1 et g
(w) = 1. Quotientons
le premier par ˆ
D ∩ ˆ
T
H
= ˆ
D ∩ ˆ
T
H, ˆ
θ,0 . On obtient un plongement
L T
G
→
ˆ
G
ˆ
θ,0
W F
(x, w) → (xˆ ι(h
1 (w)), w)
Les deux plongements précédents ne peuvent différer que par un cocycle. C’est-àdire qu’il existe un cocycle u : W F → ˆ
T tel que g
(w) = u(w)ˆ ι(h
1 (w)) pour tout
w. Pour v ∈ Val(F ) − V ram (G
) et w ∈ I v , on a u(w) = 1. En appliquant 3.2(2) à
la suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
T
H
→ ˆ
T → 1,
on voit que l’on peut relever u en un cocycle u
H : W F → ˆ
T
H tel que ˆ ι ◦ u
H = u
de sorte que, pour tous v ∈ Val(F ) − V ram (G
) et w ∈ I v , on ait u
H (w) = 1. On
pose h
(w) = u
H (w)h
1 (w). L’application
L T
H
→
L H
(x, w) → (xh
(w), w)
est alors un homomorphisme. Pour w ∈ W F , soit b(w) ∈ ˆ
H tel que
(8)
ad ˜
t (h
(w), w) = (b(w)h
(w), w).
En projetant dans
L G on voit que b(w) se projette sur l’élément a(w) de Z( ˆ
G) tel
que ad ˜
s (g
(w), w) = (a(w)g
(w), w). Donc b(w) ∈ Z( ˆ
H). L’équation (8) oblige b à
être un cocycle. On note b sa classe modulo ker
1 (W F ; Z( ˆ
H)). Elle se projette sur
a. On note ˆ
H
= Z ˆ
H ( ˜
t)
0 . L’équation (8) oblige (h
(w), w) à normaliser ˆ
H
. On note
H
le groupe engendré par ˆ
H
et les (h
(w), w) pour w ∈ W F . C’est une extension
de ˆ
H
. Elle détermine une action galoisienne sur ce groupe qui en conserve une
paire de Borel épinglée : par exemple le relèvement dans ˆ
H
d’une telle paire de ˆ
G
conservée par l’action galoisienne. On note H
le groupe quasi-déployé sur F dont
le L-groupe est ˆ
H
muni de cette structure galoisienne. Alors (H
, H
, ˜
t) est une
donnée endoscopique pour (H, ˜
H, b) et la relation (3) est vérifiée. Cette donnée
est non ramifiée en tout v ∈ Val(F ) − V ram (G
) car, pour une telle place, on a
h
(w) = 1 pour w ∈ I v . Montrons que cette donnée est relevante. Dualement à
l’homomorphisme ˆ
H
ˆ ˜ ι
→ ˆ
G
, on a un homomorphisme ι
: G
→ H
qui est défini
sur F . On a aussi des plongements compatibles Z(G) → Z(H) et Z( ˜
G) → Z( ˜
H).
L’homomorphisme ι
se prolonge en
˜ ι
: ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G) → ˜
H
= H
× Z(H) Z( ˜
H).