670
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Puisque ˜
G
(F ) n’est pas vide, ˜
H
(F ) ne l’est pas non plus. Remarquons que,
par construction, on a G SC = H SC et G
SC = H
SC . Il y a donc une bijection
entre paires de Borel pour G et pour H, et entre paires de Borel pour G
et
pour H
. Soit v ∈ Val(F ). Puisque G
est relevante, on peut fixer un diagramme
(δ, B
, T
, B, T, γ) avec δ ∈ ˜
G
(F v ), γ ∈ ˜
G(F v ) et γ fortement régulier. Notons δ
H
et γ
H les images de δ dans ˜
H
(F v ) et de γ dans ˜
H(F v ). Notons (B
H
, T
H
) la
paire de Borel de H
correspondant à (B
, T
) et (B
H , T
H ) la paire de Borel de H
correspondant à (B, T ). Alors (δ
H
, B
H
, T
H
, B
H , T
H , γ
H ) est un diagramme et
γ
H est fortement régulier. Donc H
v est relevante.
Pour achever la preuve de (i), il reste à prouver que H
vérifie l’hypothèse
(Hyp). Elle va être assurée par (7). On peut aussi bien revenir aux données initiales
et prouver
(9) si Z(G) est connexe et que G
est relevante, alors G
vérifie l’hypothèse
(Hyp).
Pour v ∈ V ram (G
), l’hypothèse que G
v est relevante permet de fixer un soustore maximal T
v de G
, défini sur F v , tel qu’il existe (δ v , γ v ) ∈ D(G
v ) de sorte que
δ v ∈ ˜
T
v (F v ). Fixons un élément Y v ∈ t
v (F v ) régulier dans g
(F v ). On peut fixer
un élément Y ∈ g
(F ) dont la composante en v soit aussi proche que l’on veut
de Y v pour tout v ∈ V ram (G
). Notons T
le commutant de Y . C’est un sous-tore
maximal de G
, défini sur F . Si la composante de Y en v est assez proche de Y v , ce
tore est conjugué à T
v par un élément de G
(F v ). Il vérifie donc la même condition
que T
v . Il faut montrer qu’il vérifie aussi cette condition pour v ∈ V ram (G
). Pour
une telle place, on peut identifier la paire de Borel épinglée de G à une paire E
∗ =
(B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) définie sur F v et dont K v soit le groupe hyperspécial associé.
D’après [I] 6.2, on peut fixer e ∈ Z( ˜
G, E
∗ )(F
nr
v ) ∩ T
∗ (o
nr
v ) ˜
K v , avec les notations
de cette référence. Soit z : Γ Fv → Z(G; ¯
F v ) l’application telle que σ(e) = z(σ)
−1 e.
Alors z est un cocycle non ramifié à valeurs dans Z(G; ¯
F v ) ∩ T
∗ (o
nr
v ) = Z(G; o
nr
v ).
Puisque Z(G) est connexe, un tel cocycle est un cobord. Quitte à multiplier e par
un élément de Z(G; o
nr
v ), on a donc e ∈ Z( ˜
G, E
∗ )(F v ) ∩ ˜
K v . Posons θ = ad e et
fixons un sous-groupe de Borel B
de G
contenant T
. Grâce à [44] corollaire 2.2,
on peut fixer x ∈ G
θ
SC ( ¯
F v ) de sorte qu’en posant ad x −1 (B
∗ , T
∗ ) = (B v , T v ), le tore
T v soit défini sur F v et l’homomorphisme ξ Tv ,T déduit de (B v , T v ) et de (B
, T
)
soit équivariant pour les actions galoisiennes. Posons E v = ad x −1 (E
∗ ). Puisque
x commute à θ, on a encore e ∈ Z( ˜
G, E v )(F v ). On fixe ν ∈ T v (F v ) en position
générale, on pose μ = ξ Tv ,T (ν), γ v = νe et δ v = μe
, où e
∈ Z( ˜
G
; F v ) est l’image
de e. Alors (δ v , B
, T
, B, T, γ v ) est un diagramme avec δ v ∈ ˜
T
(F v ) et γ v fortement
régulier. Cela démontre (9) et le (i) de l’énoncé.
Soient maintenant deux familles comme dans le (ii) de l’énoncé. Pour i = 1, 2,
on peut écrire H i = (G × Z(H i ))/ diag − (Z(G)) et identifier ˜
H i au quotient de
( ˜
G × Z(H i )) par Z(G) agissant anti-diagonalement par multiplication à gauche.
Posons Z 12 (G) = {(z, z 1 , z 2 ) ∈ Z(G); zz 1 z 2 = 1}. Posons H = (G × Z(H 1 ) ×
Z(H 2 ))/Z 12 (G) et notons ˜
H le quotient de ˜
G × Z(H 1 ) × Z(H 2 ) par l’action de
Z 12 (G) par multiplication à gauche. On munit ˜
H d’une structure d’espace tordu
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Puisque ˜
G
(F ) n’est pas vide, ˜
H
(F ) ne l’est pas non plus. Remarquons que,
par construction, on a G SC = H SC et G
SC = H
SC . Il y a donc une bijection
entre paires de Borel pour G et pour H, et entre paires de Borel pour G
et
pour H
. Soit v ∈ Val(F ). Puisque G
est relevante, on peut fixer un diagramme
(δ, B
, T
, B, T, γ) avec δ ∈ ˜
G
(F v ), γ ∈ ˜
G(F v ) et γ fortement régulier. Notons δ
H
et γ
H les images de δ dans ˜
H
(F v ) et de γ dans ˜
H(F v ). Notons (B
H
, T
H
) la
paire de Borel de H
correspondant à (B
, T
) et (B
H , T
H ) la paire de Borel de H
correspondant à (B, T ). Alors (δ
H
, B
H
, T
H
, B
H , T
H , γ
H ) est un diagramme et
γ
H est fortement régulier. Donc H
v est relevante.
Pour achever la preuve de (i), il reste à prouver que H
vérifie l’hypothèse
(Hyp). Elle va être assurée par (7). On peut aussi bien revenir aux données initiales
et prouver
(9) si Z(G) est connexe et que G
est relevante, alors G
vérifie l’hypothèse
(Hyp).
Pour v ∈ V ram (G
), l’hypothèse que G
v est relevante permet de fixer un soustore maximal T
v de G
, défini sur F v , tel qu’il existe (δ v , γ v ) ∈ D(G
v ) de sorte que
δ v ∈ ˜
T
v (F v ). Fixons un élément Y v ∈ t
v (F v ) régulier dans g
(F v ). On peut fixer
un élément Y ∈ g
(F ) dont la composante en v soit aussi proche que l’on veut
de Y v pour tout v ∈ V ram (G
). Notons T
le commutant de Y . C’est un sous-tore
maximal de G
, défini sur F . Si la composante de Y en v est assez proche de Y v , ce
tore est conjugué à T
v par un élément de G
(F v ). Il vérifie donc la même condition
que T
v . Il faut montrer qu’il vérifie aussi cette condition pour v ∈ V ram (G
). Pour
une telle place, on peut identifier la paire de Borel épinglée de G à une paire E
∗ =
(B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) définie sur F v et dont K v soit le groupe hyperspécial associé.
D’après [I] 6.2, on peut fixer e ∈ Z( ˜
G, E
∗ )(F
nr
v ) ∩ T
∗ (o
nr
v ) ˜
K v , avec les notations
de cette référence. Soit z : Γ Fv → Z(G; ¯
F v ) l’application telle que σ(e) = z(σ)
−1 e.
Alors z est un cocycle non ramifié à valeurs dans Z(G; ¯
F v ) ∩ T
∗ (o
nr
v ) = Z(G; o
nr
v ).
Puisque Z(G) est connexe, un tel cocycle est un cobord. Quitte à multiplier e par
un élément de Z(G; o
nr
v ), on a donc e ∈ Z( ˜
G, E
∗ )(F v ) ∩ ˜
K v . Posons θ = ad e et
fixons un sous-groupe de Borel B
de G
contenant T
. Grâce à [44] corollaire 2.2,
on peut fixer x ∈ G
θ
SC ( ¯
F v ) de sorte qu’en posant ad x −1 (B
∗ , T
∗ ) = (B v , T v ), le tore
T v soit défini sur F v et l’homomorphisme ξ Tv ,T déduit de (B v , T v ) et de (B
, T
)
soit équivariant pour les actions galoisiennes. Posons E v = ad x −1 (E
∗ ). Puisque
x commute à θ, on a encore e ∈ Z( ˜
G, E v )(F v ). On fixe ν ∈ T v (F v ) en position
générale, on pose μ = ξ Tv ,T (ν), γ v = νe et δ v = μe
, où e
∈ Z( ˜
G
; F v ) est l’image
de e. Alors (δ v , B
, T
, B, T, γ v ) est un diagramme avec δ v ∈ ˜
T
(F v ) et γ v fortement
régulier. Cela démontre (9) et le (i) de l’énoncé.
Soient maintenant deux familles comme dans le (ii) de l’énoncé. Pour i = 1, 2,
on peut écrire H i = (G × Z(H i ))/ diag − (Z(G)) et identifier ˜
H i au quotient de
( ˜
G × Z(H i )) par Z(G) agissant anti-diagonalement par multiplication à gauche.
Posons Z 12 (G) = {(z, z 1 , z 2 ) ∈ Z(G); zz 1 z 2 = 1}. Posons H = (G × Z(H 1 ) ×
Z(H 2 ))/Z 12 (G) et notons ˜
H le quotient de ˜
G × Z(H 1 ) × Z(H 2 ) par l’action de
Z 12 (G) par multiplication à gauche. On munit ˜
H d’une structure d’espace tordu