VI.3. Endoscopie
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sur H comme au début de la preuve de (i). Il y a un diagramme naturel d’homomorphismes
H 1
ι 1
κ 1
G
H .
ι 2
κ 2
H 2
On vérifie qu’ils ont tous injectifs. L’homomorphisme composé ι s’insère dans une
suite exacte
1 → G
ι
→ H → D 1 × D 2 → 1 .
Tous les homomorphismes se prolongent en des applications compatibles entre
les espaces tordus correspondants. Du côté dual, ˆ
H est le produit fibré de ˆ
H 1
et ˆ
H 2 au-dessus de ˆ
G. Comme dans la preuve de (i), on fixe une paire de Borel
épinglée de ˆ
G de tore ˆ
T de sorte que ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T . Elle se relève en des
paires pour ˆ
H 1 et ˆ
H 2 de tores ˆ
T 1 et ˆ
T 2 . Pour i = 1, 2, on a ˜
t i = t i ˆ
θ avec t i ∈ ˆ
T i .
On pose t = (t 1 , t 2 ) et ˜
t = t ˆ
θ. On définit H
comme l’ensemble des éléments
(x 1 , x 2 , w) ∈
L H tels que (x 1 , w) ∈ H
1 et (x 2 , w) ∈ H
2 . Comme dans la preuve
de (i), on associe à ces données un groupe H
défini et quasi-déployé sur F , ainsi
qu’une classe de cocycle b. On laisse le lecteur vérifier que les données (H, ˜
H, b)
et H
= (H
, H
, ˜
t) satisfont les conditions requises.
Remarque. La preuve fournit un groupe H et un espace ˜
H qui sont indépendants
de la donnée endoscopique G
.
VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram (G
). Considérons des données (H, ˜
H, b)
et H
= (H
, H
, ˜
t) vérifiant les hypothèses (1) à (6) du paragraphe précédent.
Considérons aussi des données auxiliaires H
1 , ˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H pour H
, non ramifiées hors de V . On a une projection H
1 → H
, un homomorphisme ι
: G
→ H
,
défini sur F , et la projection duale ˆ ι
: ˆ
H
→ ˆ
G
. Notons G
1 le produit fibré de H
1
et G
au-dessus de H
et posons C 1 = C 1,H . On a la suite exacte
1 → C 1 → G
1 → G
→ 1.
Comme on l’a vu dans la preuve de 3.8, de ι
se déduit une application ˜ ι
: ˜
G
=
G
× Z(G) Z( ˜
G) → ˜
H
= H
× Z(H) Z( ˜
H). On définit ˜
G
1 comme le produit fibré
de ˜
H
1 et ˜
G
au-dessus de ˜
H
. La projection naturelle ˜
G
1 → ˜
G
est compatible
avec la suite exacte ci-dessus. Du côté des groupes duaux, on vérifie que l’on a un
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sur H comme au début de la preuve de (i). Il y a un diagramme naturel d’homomorphismes
H 1
ι 1
κ 1
G
H .
ι 2
κ 2
H 2
On vérifie qu’ils ont tous injectifs. L’homomorphisme composé ι s’insère dans une
suite exacte
1 → G
ι
→ H → D 1 × D 2 → 1 .
Tous les homomorphismes se prolongent en des applications compatibles entre
les espaces tordus correspondants. Du côté dual, ˆ
H est le produit fibré de ˆ
H 1
et ˆ
H 2 au-dessus de ˆ
G. Comme dans la preuve de (i), on fixe une paire de Borel
épinglée de ˆ
G de tore ˆ
T de sorte que ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T . Elle se relève en des
paires pour ˆ
H 1 et ˆ
H 2 de tores ˆ
T 1 et ˆ
T 2 . Pour i = 1, 2, on a ˜
t i = t i ˆ
θ avec t i ∈ ˆ
T i .
On pose t = (t 1 , t 2 ) et ˜
t = t ˆ
θ. On définit H
comme l’ensemble des éléments
(x 1 , x 2 , w) ∈
L H tels que (x 1 , w) ∈ H
1 et (x 2 , w) ∈ H
2 . Comme dans la preuve
de (i), on associe à ces données un groupe H
défini et quasi-déployé sur F , ainsi
qu’une classe de cocycle b. On laisse le lecteur vérifier que les données (H, ˜
H, b)
et H
= (H
, H
, ˜
t) satisfont les conditions requises.
Remarque. La preuve fournit un groupe H et un espace ˜
H qui sont indépendants
de la donnée endoscopique G
.
VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram (G
). Considérons des données (H, ˜
H, b)
et H
= (H
, H
, ˜
t) vérifiant les hypothèses (1) à (6) du paragraphe précédent.
Considérons aussi des données auxiliaires H
1 , ˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H pour H
, non ramifiées hors de V . On a une projection H
1 → H
, un homomorphisme ι
: G
→ H
,
défini sur F , et la projection duale ˆ ι
: ˆ
H
→ ˆ
G
. Notons G
1 le produit fibré de H
1
et G
au-dessus de H
et posons C 1 = C 1,H . On a la suite exacte
1 → C 1 → G
1 → G
→ 1.
Comme on l’a vu dans la preuve de 3.8, de ι
se déduit une application ˜ ι
: ˜
G
=
G
× Z(G) Z( ˜
G) → ˜
H
= H
× Z(H) Z( ˜
H). On définit ˜
G
1 comme le produit fibré
de ˜
H
1 et ˜
G
au-dessus de ˜
H
. La projection naturelle ˜
G
1 → ˜
G
est compatible
avec la suite exacte ci-dessus. Du côté des groupes duaux, on vérifie que l’on a un