XI.10. La formule des traces simple avec caractère
1301
Mais la dernière intégrale n’est autre que I
˜
G (γ, ω, f ). On obtient que le membre
de droite ci-dessus est égal à mI
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ), ce qui est le résultat annoncé.
Passons au côté spectral. Pour toute ω-représentation irréductible ˜
π, la distribution h → I
˜
G (˜ π, 0, h) est à support dans le sous-ensemble ˜
G(A F )
1 des éléments γ ∈ ˜
G(A F ) tels que H ˜
G (γ) = 0. La fonction ϕ étant fixée, l’ensemble
des a ∈ A ˜
G (F )\A ˜
G (A F ) tels que le support de
a ϕ coupe l’ensemble précédent
est compact. Notons C ce compact. On obtient que pour tout ˜
π, la fonction
a → I
˜
G (˜ π, 0,
a ϕ) est à support dans C. Donc
(3)
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G
spec (ω,
a ϕ)μ(a) da =
𚵿
C
˜
π∈ ˜
Π disc
z ˜
π I
˜
G (˜ π, 0,
a ϕ)μ(a) da.
Montrons que :
(4) cette expression est absolument convergente.
Il est évidemment plus fort de prouver que l’intégrale
C
˜
π∈ ˜
Π disc
|z ˜
π |
iA ∗
˜
G
| trace ˜
π λ (
a ϕ)| dλ da
est convergente. Or trace ˜
π λ (
a ϕ) = ω π λ (a)
−1 trace ˜
π λ (ϕ). Le caractère central
est forcément unitaire, et l’intégrale ci-dessus est simplement le produit des deux
expressions
C
da et
˜
π∈ ˜
Π disc
|z ˜
π |
iA ∗
˜
G
| trace ˜
π λ (ϕ)| dλ.
La première est convergente puisque C est compact. On a prouvé la convergence
de la seconde en [X], proposition 7.3, en utilisant les résultats de Müller. D’où (4).
En conséquence, l’expression (3) vaut aussi
˜
π∈ ˜
Π disc
z ˜
π
C
I
˜
G (˜ π, 0,
a ϕ)μ(a) da,
ou encore, par le même argument de support que ci-dessus,
(5)
˜
π∈ ˜
Π disc
z ˜
π
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G (˜ π, 0,
a ϕ)μ(a) da.
Fixons ˜
π ∈ ˜
Π disc . On a l’égalité
(6)
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G (˜ π, 0,
a ϕ)μ(a) da
=
A ˜
G (F )A ˜
G \A ˜
G (AF )
A ˜
G
iA ∗
˜
G
trace ˜
π λ (
za ϕ) dλ dz μ(a) da.