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Chapitre XI. Appendice
On a trace ˜
π λ (
za ϕ) = e
−λ,H ˜
G (z) trace ˜
π λ (
a ϕ). La double intégrale intérieure cidessus disparaît donc par inversion de Fourier. C’est-à-dire
A ˜
G
iA ∗
˜
G
trace ˜
π λ (
za ϕ) dλ dz = trace ˜
π(
a ϕ).
On a aussi
trace ˜
π(
a ϕ) = ω π (a)
−1 trace ˜
π(ϕ)
et l’expression (6) devient simplement
trace ˜
π(ϕ)
A ˜
G (F )A ˜
G \A ˜
G (AF )
ω π (a)
−1 μ(a) da.
Cette dernière intégrale vaut m si ω π = μ, 0 sinon. Si ω π = μ, on transforme le
premier terme de la façon suivante :
˜
π(ϕ) =
˜
G(AF )
˜
π(γ)ϕ(γ) dγ
=
A ˜
G (AF )\ ˜
G(AF )
A ˜
G (AF )
˜
π(aγ)ϕ(aγ) da dγ
=
A ˜
G (AF )\ ˜
G(AF )
˜
π(γ)
A ˜
G (AF )
μ(a)ϕ(aγ) da dγ
=
A ˜
G (AF )\ ˜
G(AF )
˜
π(γ)f (γ) dγ
= ˜
π(f ),
en utilisant nos définitions. En conséquence, l’expression (6) vaut m trace ˜
π(f ) si
˜
π ∈ ˜
Π disc,μ , 0 sinon. En utilisant l’égalité de (3) et (5), on obtient que l’expression
(3) vaut I
˜
G
spec,μ (ω, f ), comme annoncé.