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Chapitre XI. Appendice
Dans I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ) intervient l’ensemble de sommation ˜
G(F ) ell / conj. La condition de régularité modulo A ˜
G imposée à f v en au moins une place implique que
l’on peut le remplacer par ˜
G(F ) / conj. Le groupe A ˜
G (F ) agit par multiplication
sur cet ensemble. Les orbites s’identifient à ˜
G(F ) / ∼. L’action n’est pas forcément
libre. On note stab(γ; F ) le stabilisateur d’un élément γ (précisément, pour γ ∈
˜
G(F ) , stab(γ; F ) est le groupe des ˙
a ∈ A ˜
G (F ) tels que ˙
aγ soit de la forme g
−1 γg
pour un g ∈ G(F )). Une somme
γ∈ ˜
G(F )/ conj X(γ) s’écrit donc aussi
훀
γ∈ ˜
G(F )/∼
| stab(γ; F )|
−1
˙
a∈A ˜
G (F )
X( ˙
aγ).
Ainsi
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ) =
γ∈ ˜
G(F )/∼
| stab(γ; F )|
−1
˙
a∈A ˜
G (F )
[Z G ( ˙
aγ; F ) : G ˙
aγ (F )]
−1
mes(A ˜
G G ˙
aγ (F )\G ˙
aγ (A F ))I
˜
G ( ˙
aγ, ω,
a ϕ).
Soient γ et ˙
a intervenant ci-dessus. On a évidemment Z G ( ˙
aγ) = Z G (γ) et G ˙
aγ =
G γ . L’application (x, g) → x envoie Stab(γ; F ) dans stab(γ; F ) et on vérifie immédiatement que la suite suivante est exacte
1 → Z G (γ; F ) → Stab(γ; F ) → stab(γ; F ) → 1
En conséquence,
| stab(γ; F )|[Z G (γ; F ) : G γ (F )] = [Stab(γ; F ) : G γ (F )].
On a aussi
I
˜
G ( ˙
aγ, ω,
a ϕ) = I
˜
G (γ, ω,
˙
aa ϕ).
Enfin,
mes(A ˜
G G γ (F )\G γ (A F )) = m mes(A ˜
G (A F )G γ (F )\G γ (A F )).
Donc
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ) = m
˙
a∈A ˜
G (F )
γ∈ ˜
G(F )
[Stab(γ; F ) : G γ (F )]
mes(A ˜
G (A F )G γ (F )\G γ (A F ))I
˜
G (γ, ω,
˙
aa ϕ).
Multiplions cette expression par μ(a) et intégrons en a ∈ A ˜
G (F )\A ˜
G (A F ). La
somme en ˙
a et l’intégrale en a se composent en une unique intégrale en a ∈
A ˜
G (A F ). On obtient
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ)μ(a) da = m
γ∈ ˜
G(F )
[Stab(γ; F ) : G γ (F )]
−1
mes(A ˜
G (A F )G γ (F )\G γ (A F ))
A ˜
G (AF )
I
˜
G (γ, ω,
a ϕ)μ(a) da.