XI.10. La formule des traces simple avec caractère
1299
sur A ˜
G (A F ). Pour une telle représentation ˜
π, on définit l’opérateur
˜
π(f ) =
A ˜
G (AF )\ ˜
G(AF )
˜
π(γ)f (γ) dγ.
On pose
I
˜
G
spec,μ (ω, f ) =
˜
π∈ ˜
Π disc,μ
z ˜
π trace ˜
π(f ).
Proposition. Pour f ∈ C
∞
c,μ ( ˜
G(A F )) vérifiant les conditions ci-dessus, on a l’égalité
I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ) = I
˜
G
spec,μ (ω, f ).
Preuve. On se ramène d’abord au cas où la restriction de μ à A ˜
G est triviale.
Il suffit pour cela de définir la fonction f
par f
(γ) = f (γ)e ν,H ˜
G (γ) pour tout
γ ∈ ˜
G(A F ) (on rappelle que l’application H ˜
G est normalisée par H ˜
G (γ) = 0 si
γ ∈ ˜
G(F )). Alors f
∈ C
∞
c,μ ( ˜
G(A F )) et on vérifie trivialement que I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f
) =
I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ) et que I
˜
G
spec,μ (ω, f
) = I
˜
G
spec,μ (ω, f ). L’assertion pour f
et μ
implique donc celle pour f et μ.
Désormais, on suppose μ trivial sur A ˜
G . On peut choisir une fonction ϕ ∈
C
∞
c ( ˜
G(A F )) telle que
f (γ) =
A ˜
G (AF )
ϕ(aγ)μ(a) da
pour tout γ ∈ ˜
G(A F ). On voit que l’on peut imposer à ϕ d’être de la forme
ϕ = ⊗ v ϕ v , avec ϕ v cuspidale en au moins deux places et ϕ v à support régulier
modulo A ˜
G en au moins une place. Pour tout a ∈ A ˜
G (A F ), on a l’égalité du
paragraphe précédent
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ) = I
˜
G
spec,μ (ω,
a ϕ),
où
a ϕ est la fonction définie par
a ϕ(γ) = ϕ(aγ). On considère les deux membres
de cette égalité comme des fonctions de a. On voit que les deux membres sont invariants par translations par A ˜
G (F ). Le lemme 2.1 de Stabilisation de [VI] montre
que le membre de gauche (donc aussi celui de droite) est à support compact modulo ce groupe A ˜
G (F ). Evidemment, les fonctions sont lisses en a. On a donc
l’égalité
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ)μ(a) da =
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G
spec (ω,
a ϕ)μ(a) da.
Posons m = mes(A ˜
G A ˜
G (F )\A ˜
G (A F )). On va prouver que le membre de gauche
de cette égalité est égal à mI
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ) tandis que le membre de droite est égal
à mI
˜
G
spec,μ (ω, f ). Cela prouvera l’énoncé.
1299
sur A ˜
G (A F ). Pour une telle représentation ˜
π, on définit l’opérateur
˜
π(f ) =
A ˜
G (AF )\ ˜
G(AF )
˜
π(γ)f (γ) dγ.
On pose
I
˜
G
spec,μ (ω, f ) =
˜
π∈ ˜
Π disc,μ
z ˜
π trace ˜
π(f ).
Proposition. Pour f ∈ C
∞
c,μ ( ˜
G(A F )) vérifiant les conditions ci-dessus, on a l’égalité
I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ) = I
˜
G
spec,μ (ω, f ).
Preuve. On se ramène d’abord au cas où la restriction de μ à A ˜
G est triviale.
Il suffit pour cela de définir la fonction f
par f
(γ) = f (γ)e ν,H ˜
G (γ) pour tout
γ ∈ ˜
G(A F ) (on rappelle que l’application H ˜
G est normalisée par H ˜
G (γ) = 0 si
γ ∈ ˜
G(F )). Alors f
∈ C
∞
c,μ ( ˜
G(A F )) et on vérifie trivialement que I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f
) =
I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ) et que I
˜
G
spec,μ (ω, f
) = I
˜
G
spec,μ (ω, f ). L’assertion pour f
et μ
implique donc celle pour f et μ.
Désormais, on suppose μ trivial sur A ˜
G . On peut choisir une fonction ϕ ∈
C
∞
c ( ˜
G(A F )) telle que
f (γ) =
A ˜
G (AF )
ϕ(aγ)μ(a) da
pour tout γ ∈ ˜
G(A F ). On voit que l’on peut imposer à ϕ d’être de la forme
ϕ = ⊗ v ϕ v , avec ϕ v cuspidale en au moins deux places et ϕ v à support régulier
modulo A ˜
G en au moins une place. Pour tout a ∈ A ˜
G (A F ), on a l’égalité du
paragraphe précédent
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ) = I
˜
G
spec,μ (ω,
a ϕ),
où
a ϕ est la fonction définie par
a ϕ(γ) = ϕ(aγ). On considère les deux membres
de cette égalité comme des fonctions de a. On voit que les deux membres sont invariants par translations par A ˜
G (F ). Le lemme 2.1 de Stabilisation de [VI] montre
que le membre de gauche (donc aussi celui de droite) est à support compact modulo ce groupe A ˜
G (F ). Evidemment, les fonctions sont lisses en a. On a donc
l’égalité
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G
g´ eom (ω,
a ϕ)μ(a) da =
A ˜
G (F )\A ˜
G (AF )
I
˜
G
spec (ω,
a ϕ)μ(a) da.
Posons m = mes(A ˜
G A ˜
G (F )\A ˜
G (A F )). On va prouver que le membre de gauche
de cette égalité est égal à mI
˜
G
g´ eom,μ (ω, f ) tandis que le membre de droite est égal
à mI
˜
G
spec,μ (ω, f ). Cela prouvera l’énoncé.