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Chapitre XI. Appendice
qui est à support dans A ˜
G (F v ) ˜
K v et qui vaut 1 sur ˜
K v . On note C
∞
c,μ ( ˜
G(A F )) le
produit tensoriel restreint des C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )), c’est-à-dire l’espace engendré par les
fonctions f = ⊗ v f v où f v ∈ C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )) pour tout v et f v = 1 ˜
Kv,μv pour presque
tout v.
On considère une telle fonction f = ⊗ v f v , on suppose qu’il existe au moins
deux places v telles que f v soit cuspidale et qu’il existe au moins une place v telle
que f v soit à support fortement régulier modulo A ˜
G . La notion de cuspidalité se
définit aussi bien pour des éléments de C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )). La notion de forte régularité
modulo A ˜
G se définit de la façon suivante. On note G = G/A ˜
G et ˜
G = ˜
G/A ˜
G .
Alors ˜
G est un espace tordu sous G . On dit qu’un élément γ ∈ ˜
G est fortement
régulier modulo A ˜
G si son image dans ˜
G est fortement régulier. On va établir une
variante de la formule des traces simples pour une telle fonction. On fixe de plus
une mesure sur A ˜
G (A F ).
Notons ˜
G(F ) l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) qui sont fortement réguliers
modulo A ˜
G et qui sont elliptiques. Le groupe A ˜
G (F ) × G(F ) agit sur ˜
G(F ) par
(a, g, γ) → ag
−1 γg. Notons ˜
G(F ) / ∼ l’ensemble des orbites, que l’on identifie à
un ensemble de représentants. Pour tout γ ∈ ˜
G(F ) , notons Stab(γ; F ) le fixateur de γ dans A ˜
G (F ) × G(F ). Il contient G γ (F ) et on vérifie que le quotient
Stab(γ; F )/G γ (F ) est fini. On pose
I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f )
=
γ∈ ˜
G(F )/∼
[Stab(γ; F ) : G γ (F )]
−1 mes(A ˜
G (A F )G γ (F )\G γ (A F ))I
˜
G (γ, ω, f ),
où I
˜
G (γ, ω, f ) est définie par la même formule (1) que dans le paragraphe précédent.
Remarques.
(1) Pour γ ∈ ˜
G(F ) , on vérifie que la composante locale I
˜
Gv (γ, ω v , 1 ˜
Kv,μv ) de
l’intégrale précédente vaut 1 pour presque toute place v, pourvu que l’on
utilise les mesures non ramifiées standard.
(2) Utilisons le groupe G = A ˜
G \G et l’espace tordu ˜
G = A ˜
G \ ˜
G. Parce que
A ˜
G est déployé, le groupe H
1 (Γ F ; A ˜
G ( ¯
F )) est nul. Donc les applications
G(F ) → G (F ) et ˜
G(F ) → ˜
G (F ) sont surjectives. On voit que cette dernière application envoie bijectivement ˜
G(F ) / ∼ sur un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G (F ) dans ˜
G (F ) ell . De même,
pour γ ∈ ˜
G(F ) , Stab(γ; F ) est l’image réciproque dans G(F ) du groupe
Z G (γ ; F ), où γ est l’image de γ dans ˜
G (F ).
On n’a pas supposé que μ était trivial sur A ˜
G . Mais il existe un unique
caractère μ
de A ˜
G (A F ) trivial sur A ˜
G A ˜
G (F ) et un unique élément ν ∈ iA
∗
˜
G
tels que μ(a) = μ
(a)e ν,H ˜
G (a) pour tout a ∈ A ˜
G (A F ). On note ˜
Π disc,μ le sousensemble des ˜
π = ˜
π
ν où ˜
π
∈ ˜
Π disc et où le caractère central ω π coïncide avec μ
Chapitre XI. Appendice
qui est à support dans A ˜
G (F v ) ˜
K v et qui vaut 1 sur ˜
K v . On note C
∞
c,μ ( ˜
G(A F )) le
produit tensoriel restreint des C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )), c’est-à-dire l’espace engendré par les
fonctions f = ⊗ v f v où f v ∈ C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )) pour tout v et f v = 1 ˜
Kv,μv pour presque
tout v.
On considère une telle fonction f = ⊗ v f v , on suppose qu’il existe au moins
deux places v telles que f v soit cuspidale et qu’il existe au moins une place v telle
que f v soit à support fortement régulier modulo A ˜
G . La notion de cuspidalité se
définit aussi bien pour des éléments de C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )). La notion de forte régularité
modulo A ˜
G se définit de la façon suivante. On note G = G/A ˜
G et ˜
G = ˜
G/A ˜
G .
Alors ˜
G est un espace tordu sous G . On dit qu’un élément γ ∈ ˜
G est fortement
régulier modulo A ˜
G si son image dans ˜
G est fortement régulier. On va établir une
variante de la formule des traces simples pour une telle fonction. On fixe de plus
une mesure sur A ˜
G (A F ).
Notons ˜
G(F ) l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) qui sont fortement réguliers
modulo A ˜
G et qui sont elliptiques. Le groupe A ˜
G (F ) × G(F ) agit sur ˜
G(F ) par
(a, g, γ) → ag
−1 γg. Notons ˜
G(F ) / ∼ l’ensemble des orbites, que l’on identifie à
un ensemble de représentants. Pour tout γ ∈ ˜
G(F ) , notons Stab(γ; F ) le fixateur de γ dans A ˜
G (F ) × G(F ). Il contient G γ (F ) et on vérifie que le quotient
Stab(γ; F )/G γ (F ) est fini. On pose
I
˜
G
g´ eom,μ (ω, f )
=
γ∈ ˜
G(F )/∼
[Stab(γ; F ) : G γ (F )]
−1 mes(A ˜
G (A F )G γ (F )\G γ (A F ))I
˜
G (γ, ω, f ),
où I
˜
G (γ, ω, f ) est définie par la même formule (1) que dans le paragraphe précédent.
Remarques.
(1) Pour γ ∈ ˜
G(F ) , on vérifie que la composante locale I
˜
Gv (γ, ω v , 1 ˜
Kv,μv ) de
l’intégrale précédente vaut 1 pour presque toute place v, pourvu que l’on
utilise les mesures non ramifiées standard.
(2) Utilisons le groupe G = A ˜
G \G et l’espace tordu ˜
G = A ˜
G \ ˜
G. Parce que
A ˜
G est déployé, le groupe H
1 (Γ F ; A ˜
G ( ¯
F )) est nul. Donc les applications
G(F ) → G (F ) et ˜
G(F ) → ˜
G (F ) sont surjectives. On voit que cette dernière application envoie bijectivement ˜
G(F ) / ∼ sur un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G (F ) dans ˜
G (F ) ell . De même,
pour γ ∈ ˜
G(F ) , Stab(γ; F ) est l’image réciproque dans G(F ) du groupe
Z G (γ ; F ), où γ est l’image de γ dans ˜
G (F ).
On n’a pas supposé que μ était trivial sur A ˜
G . Mais il existe un unique
caractère μ
de A ˜
G (A F ) trivial sur A ˜
G A ˜
G (F ) et un unique élément ν ∈ iA
∗
˜
G
tels que μ(a) = μ
(a)e ν,H ˜
G (a) pour tout a ∈ A ˜
G (A F ). On note ˜
Π disc,μ le sousensemble des ˜
π = ˜
π
ν où ˜
π
∈ ˜
Π disc et où le caractère central ω π coïncide avec μ