XI.9. La formule des traces simple
1297
XI.9 La formule des traces simple
Soient F un corps de nombres et (G, ˜
G, a) un triplet défini sur F . On considère une
fonction f = ⊗ v f v ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )) vérifiant les conditions : il existe au moins deux
places v telles que f v soit cuspidale ; il existe au moins une place v telle que f v soit
à support fortement régulier ; f v est K v -finie pour toute place v archimédienne.
Les deux termes de la formule des traces
I
˜
G
g´ eom (ω, f ) = I
˜
G
spec (ω, f )
se simplifient de la façon suivante. On suppose fixées des mesures sur G(A F ) et
A ˜
G A ˜
G . On a
I
˜
G
g´ eom (ω, f )
=
γ∈ ˜
G(F ) ell / conj
[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 mes(A ˜
G G γ (F )\G γ (A F ))I
˜
G (γ, ω, f ),
où ˜
G(F ) ell / conj est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par
G(F ) dans l’ensemble ˜
G(F ) ell des éléments fortement réguliers et elliptiques de
˜
G(F ) ; G γ est la composante neutre du centralisateur Z G (γ) ; on a posé
I
˜
G (γ, ω, f ) =
Gγ (AF )\G(AF )
f (g
−1 γg)ω(g) dg.
(1)
On a I
˜
G
spec (ω, f ) =
˜
π∈ ˜
Π disc
z ˜
π I
˜
G (˜ π, 0, f) où ˜
Π disc est l’ensemble des ωreprésentations irréductibles de ˜
G(A F ) intervenant dans la partie discrète de la
formule des traces (discrète au sens d’Arthur) ; puisqu’on est dans la situation
tordue, cette notion n’est définie qu’à homothétie près et on doit plutôt considérer que ˜
Π disc est un ensemble de représentants modulo homothétie, formé de
représentations unitaires ; rappelons que, par définition, les éléments ˜
π ∈ ˜
Π disc ont
un caractère central ω π de Z G (A F ) qui est trivial sur A ˜
G ; z ˜
π est un scalaire pas
forcément positif et incluant le facteur d(θ)
−1 qui intervient sournoisement un peu
partout ; on a posé
I
˜
G (˜ π, 0, f) =
iA ∗
˜
G
trace π λ (f ) dλ.
XI.10 La formule des traces simple avec caractère
Fixons de plus un caractère unitaire μ de A ˜
G (A F )/A ˜
G (F ). Pour toute place v
de F , on note C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )) l’espace des fonctions f v sur ˜
G(F v ) qui sont lisses et
à support compact modulo A ˜
G (F v ), vérifient la relation f v (aγ) = μ v (a)
−1 f v (γ)
pour tous a ∈ A ˜
G (F v ) et γ ∈ ˜
G(F v ) et qui sont K v -finies si v est archimédienne.
Si v ∈ V ram et μ v est non ramifié, on note 1 ˜
Kv ,μv l’unique élément de cet espace
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XI.9 La formule des traces simple
Soient F un corps de nombres et (G, ˜
G, a) un triplet défini sur F . On considère une
fonction f = ⊗ v f v ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )) vérifiant les conditions : il existe au moins deux
places v telles que f v soit cuspidale ; il existe au moins une place v telle que f v soit
à support fortement régulier ; f v est K v -finie pour toute place v archimédienne.
Les deux termes de la formule des traces
I
˜
G
g´ eom (ω, f ) = I
˜
G
spec (ω, f )
se simplifient de la façon suivante. On suppose fixées des mesures sur G(A F ) et
A ˜
G A ˜
G . On a
I
˜
G
g´ eom (ω, f )
=
γ∈ ˜
G(F ) ell / conj
[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 mes(A ˜
G G γ (F )\G γ (A F ))I
˜
G (γ, ω, f ),
où ˜
G(F ) ell / conj est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par
G(F ) dans l’ensemble ˜
G(F ) ell des éléments fortement réguliers et elliptiques de
˜
G(F ) ; G γ est la composante neutre du centralisateur Z G (γ) ; on a posé
I
˜
G (γ, ω, f ) =
Gγ (AF )\G(AF )
f (g
−1 γg)ω(g) dg.
(1)
On a I
˜
G
spec (ω, f ) =
˜
π∈ ˜
Π disc
z ˜
π I
˜
G (˜ π, 0, f) où ˜
Π disc est l’ensemble des ωreprésentations irréductibles de ˜
G(A F ) intervenant dans la partie discrète de la
formule des traces (discrète au sens d’Arthur) ; puisqu’on est dans la situation
tordue, cette notion n’est définie qu’à homothétie près et on doit plutôt considérer que ˜
Π disc est un ensemble de représentants modulo homothétie, formé de
représentations unitaires ; rappelons que, par définition, les éléments ˜
π ∈ ˜
Π disc ont
un caractère central ω π de Z G (A F ) qui est trivial sur A ˜
G ; z ˜
π est un scalaire pas
forcément positif et incluant le facteur d(θ)
−1 qui intervient sournoisement un peu
partout ; on a posé
I
˜
G (˜ π, 0, f) =
iA ∗
˜
G
trace π λ (f ) dλ.
XI.10 La formule des traces simple avec caractère
Fixons de plus un caractère unitaire μ de A ˜
G (A F )/A ˜
G (F ). Pour toute place v
de F , on note C
∞
c,μv ( ˜
G(F v )) l’espace des fonctions f v sur ˜
G(F v ) qui sont lisses et
à support compact modulo A ˜
G (F v ), vérifient la relation f v (aγ) = μ v (a)
−1 f v (γ)
pour tous a ∈ A ˜
G (F v ) et γ ∈ ˜
G(F v ) et qui sont K v -finies si v est archimédienne.
Si v ∈ V ram et μ v est non ramifié, on note 1 ˜
Kv ,μv l’unique élément de cet espace